2014年北京朝阳高考二模数学（理）

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1、2014年北京朝阳高考二模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.若集合A=x3+2x−x2>0，集合B=x2x<2，则A∩B等于  A.1,3B.−∞,−1C.−1,1D.−3,12.如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是______A.log3a14bC.1a<1bD.a20,ω>0,φ

2、<π2的部分图象如图所示，则φ=______A.−π6B.π6C.−π3D.π35.已知命题p：复数z=1+ii在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q：∃x>0，x=cosx，则下列命题中为真命题的是______A.¬p∧¬qB.¬p∧qC.p∧¬qD.p∧q第8页（共8页）6.若双曲线x2−y2b2=1b>0的一条渐近线与圆x2+y−22=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是______A.1,2B.2,+∞C.1,3D.3,+∞7.某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．煤吨电千度纯利润万元1箱

3、甲产品3121箱乙产品111若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是______A.60万元B.80万元C.90万元D.100万元8.如图放置的边长为1的正△PMN沿边长为3的正方形ABCD的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P的轨迹长度是______A.8π3B.16π3C.4πD.5π二、填空题（共6小题；共30分）9.已知平面向量a，b满足a=1，b=2，a与b的夹角为60∘，则2a+b=______．10.1−2x5的展开式中含x3项的系数为___

4、___．（用数字表示）11.如图，AB为圆O的直径，AB=2，过圆O上一点M作圆O的切线，交AB的延长线于点C，过点M作MD⊥AB于点D，若D是OB中点，则AC⋅BC=______．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是______；表面积是______．第8页（共8页）13.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−4n∈N*，则an=______；数列log2an的前n项和为______．14.若存在正实数M，对于任意x∈1,+∞，都有fx≤M，则称函数fx在1,+∞上是有界函数．下列函数①fx=1x−1

5、；②fx=xx2+1；③fx=lnxx；④fx=xsinx，其中“在1,+∞上是有界函数”的序号为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2π3，b=3，△ABC的面积为1534．（1）求a的值；（2）求cos2B的值．16.某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200名学生参加社区服务的数据，按时间段75,80，80,85，85,90，90,95，95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的20

6、0位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求二面角E−DF−A的余弦值；（3）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF?若存在，指出点G的位置；

7、若不存在，说明理由．18.已知函数fx=e2x+1−ax+1，a∈R．（1）若曲线y=fx在点0,f0处的切线与直线x+ey+1=0垂直，求a的值；（2）求函数fx的单调区间；（3）设a<2e3，当x∈0,1时，都有fx≥1成立，求实数a的取值范围．第8页（共8页）19.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+mk∈R，使得OA+2OB=OA−2OB成立?若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．20.已知x1,x

8、2是函数fx=x2+mx+t的两个零点，其中常数m,t∈Z，设Tn=x1n−rx2rr=0n（n∈N*）．（1）用m，t表示T1，T2；（2）求证：T