2009年杭州市中考数学试卷

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2009年杭州市中考数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.如果a+b=0，那么a，b两个实数一定是  A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数2.要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是  A.调查全体女生B.调查全体男生C.调查九年级全体学生D.调查七、八、九年级各100名学生3.直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系是  A.B.C.D.4.有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限．其中错误的是  A.只有①B.只有②C.只有③D.①②③5.已知点Px,y在函数y=1x2+−x的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的  A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.在一张边长为4 cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1 cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为  A.116B.14C.π16D.π47.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值  A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个8.如图，在菱形ABCD中，∠A=110∘，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=  第9页（共9页） A.35∘B.45∘C.50∘D.55∘9.两个不相等的正数满足a+b=2，ab=t−1，设S=a−b2，则S关于t的函数图象是  A.射线（不含端点）B.线段（不含端点）C.直线D.抛物线的一部分10.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pkxk,yk处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，xk=xk−1+1−5k−15−k−25,yk=yk−1+k−15−k−25,a表示非负实数a的整数部分，例如2.6=2，0.2=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为  A.5,2009B.6,2010C.3,401D.4,402二、填空题（共6小题；共30分）11.如图，镜子中号码的实际号码是______．12.在实数范围内因式分解：x4−4=______．13.给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是______；方差（精确到0.1）是______．14.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是______．15.已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是正数，则m的取值范围为______．16.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=______．第9页（共9页） 三、解答题（共8小题；共104分）17.如果a，b，c是三个任意的整数，那么在a+b2，b+c2，c+a2这三个数中，至少会有几个整数?请利用整数的奇偶性简单说明理由．18.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r:a及r:b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值．19.如图是一个几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称：______；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．20.如图，已知线段a．（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=12a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB=4 cm，求AC边上的高．第9页（共9页） 21.学校医务室对九年级的用眼习惯所作的调查结果如表1所示，表中空缺的部分反映在表2的扇形图和表3的条形图中．编号项目人数比例1经常近距离写字36037.50%2经常长时间看书  3长时间使用电脑52 4近距离地看电视 11.25%5不及时检查视力24025.00%表1（1）请把三个表中的空缺部分补充完整；（2）请提出一个保护视力的口号（15个字以内）．22.如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60∘，AD∥BC，且AD=DC，E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF，AF，BE交于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．23.在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少?（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少?24.已知平行于x轴的直线y=aa≠0与函数y=x和函数y=1x的图象分别交于点A和点B，又有定点P2,0．第9页（共9页） （1）若a>0，且tan∠POB=19，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段AB=83，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y=95x2的图象，求点P到直线AB的距离．第9页（共9页） 答案第一部分1.C2.D3.A4.C5.B6.C7.B8.D9.B10.D第二部分11.326512.x2+2x+2x−213.23,2.614.14或16或2615.m>−6且m≠−416.5:2；21第三部分17.至少会有一个整数．因为三个任意的整数a，b，c中，至少会有2个数的奇偶性相同，不妨设其为a，b，那么a+b2就一定是整数．18.（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．∴r:a=1:1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，∴r:b=3:2．      （2）T1:T2的边长比是3:2，∴S1:S2=a:b2=3:4．19.（1）圆锥      （2）表面积S=S扇形+S圆=12lR+πr2=πrR+πr2=12π+4π=16π（平方厘米）．      （3）如图，ABBʹ，则线段BD为所求的最短路程，设∠BABʹ=n∘，∵nπ×6180=4π，∴n=120，即∠BABʹ=120∘，连接BBʹ交AC于点Dʹ，连接BʹC，BC．∵C为BBʹ中点，∴∠BʹAC=∠BAC=60∘．∵AC=ABʹ=AB，∴△ABʹC，△ABC为等边三角形．∴BʹC=ABʹ=AB=BC．∴四边形ABCBʹ为菱形．∴Dʹ为AC中点，且BDʹ⊥AC．第9页（共9页） 又∵D为AC中点，∴D与Dʹ重合．∴∠ADB=90∘．∴BD=AD⋅sin∠BAD=6×32=33．∴最短距离为33．20.（1）作图如图所示，△ABC即为所求的直角三角形；      （2）AB=4 cm，BC=2 cm，由勾股定理得，AC=25 cm，设斜边AC上的高为h cm，△ABC面积等于12×4×2=12×25×h，所以h=455，即AC边上的高为455cm．21.（1）补全的三张表如下：编号项目人数比例1经常近距离写字36037.50%2经常长时间看书20020.83%3长时间使用电脑525.42%4近距离地看电视10811.25%5不及时检查视力24025.00%表1      （2）例如：“像爱护生命一样地爱护眼睛！”等．22.（1）∵AD=DC，DE=CF，∴AE=DF．在△BAE和△ADF中，BA=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,∴△BAE≌△ADFSAS，∴BE=AF；      （2）猜想∠BPF=120∘，∵由（1）知△BAE≌△ADF，第9页（共9页） ∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，而AD∥BC，∠BCD=∠ABC=60∘，∴∠BAE=120∘，∴∠BPF=120∘．23.（1）y=5x+22+15+12+199．      （2）由题意有5x+22+15+12+199>x，解得x<17，所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为17×5−1=84分．      （3）又由题意，小方在这10场比赛中得分至少为18×10+1=181分，设他在第10场比赛中的得分为S，则有84+22+15+12+19+S≥181，解得S≥29，所以小方在第10场比赛中得分的最小值应为29分．24.（1）Bm,n，则tan∠POB=nm=19，得m=9n，又点B在函数y=1x的图象上，得n=1m，∴m=3（−3舍去），点B为3,13，而AB∥x轴，∴点A13,13，∴AB=3−13=83．      （2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点Aa,a，B1a,a，则AB=1a−a=83，∴3a2+8a−3=0，解得a=−3或a=13．当a=−3时，点A−3,−3，B−13,−3，∵顶点在y=x上，∴顶点为−53,−53，∴可设二次函数为y=kx+532−53，点A代入，解得k=−34，∴所求函数解析式为y=−34x+532−53．同理，当a=13时，所求函数解析式为y=−34x−532+53．      （3）设Aa,a，B1a,a，由条件可知抛物线的对称轴为直线x=a2+12a．第9页（共9页） 设所求二次函数解析式为：y=95x−2x−a+1a+2．点Aa,a代入，解得a1=3，a2=613，所以点P到直线AB的距离为3或613．第9页（共9页）