必修1示范教案3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.doc

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1、§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教学分析     函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同,应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的,通过教学让学生认识到数学来自现实生活,数学在现实生活中是有用的.三维目标     1.借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法

2、(解析式、表格、图像),并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.重点难点     教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排     1课时导入新课     思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他要什么.发明者说:“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子里的麦粒数都是前一个

3、格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40g,据查,目前世界年度小麦产量为6亿吨,但不能满足发明者要求,这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.思路2.(直接导入)我们知道,对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.推进新课     ①在区间(0,+∞)上判断y=

4、log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论?讨论结果:①在区间(0,+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.②见下表与图1.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.51622.6393.4824.9596.063810.556…y=x20.040.3611.963.244.84

5、6.67911.56…y=log2x-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…图1③从图像看出y=log2x的图像与另外两函数的图像没有交点,且总在另外两函数的图像的下方,y=2x的图像与y=x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16).④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4,+∞).⑤我们在更大的范围内列表作函数图像(图2),x012345678…y=2x1248163264128256…y=x2014916253

6、64964…]图2容易看出:y=2x的图像与y=x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16),这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系,有时2x<x2,有时x2<2x.但是,当自变量x越来越大时,可以看到,y=2x的图像就像与x轴垂直一样,2x的值快速增长,x2比起2x来,几乎有些微不足道,如图3和下表所示.x01020304050607080…y=2x110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+181.18E+211.21E+24…y=x201004009001600250036

7、0049006400…图3一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图像就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存

8、在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.综上所述,尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“

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