水利工程专业《高等数学（2）》学习指导（一）

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1、《高等数学（2）》学习指导（一）――空间解析几何与向量代数本章教学要求：1．了解空间直角坐标系，掌握两点间的距离公式。2．掌握向量概念：模、单位向量、方向余弦，特别是向量的坐标表示。3．掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。4．掌握平面的点法式方程和一般方程，会求点到平面的距离。5．掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会进行方程间的互化。6．会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。7．知道球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面的方程。例题讲解：一、填空题1．设、为任意两个向量，则2．同时垂直

2、于两向量{1，1，－2}和{－1，0，1}的单位向量是3．求过点（－2，7，3）且平行于平面的平面的方程是4．设两点A（1，－1，0），B（2，1，－2），则5．向量与的点积6．过点（0，1，0），法向量为的平面方程是7．当时，向量与向量垂直。8．已知空间中的两点（4，－2，－2），（0，1，－2），那么向量的模9．已知向量的方向余弦中，，则10．点（－1，－2，1）到平面的距离是分析与解答：1．本小题主要是考虑向量积的概念，由向量积定义得：2．本小题包含两个含义：①如何求与两向量及同时垂直的向量；②单位向量又如何求？由向量积的定义，同时垂直于与，即＝{1，1，1}的单位

3、向量包括与同方向与反方向的两个单位向量，而，故本小题的答案为：{1，1，1}3．两平面平行则它们的法向量也平行，所求平面的法向量可取已知平面的法向量，即{1，－4，5}，由平面的点法式方程得：即4．将两点的坐标代入空间两点坐标公式：，得5．由向量的数量积定义，得：6．由平面的点法式方程，得：7．两向量与垂直的充要条件是，而，故8．空间两点连线组成的向量的模等于该两点的距离，故9．由方向余弦的关系式：，得：10．由点到平面的距离公式：，得二、单项选择题1．过点（1，1，1）且平行于直线的直线方程是（）A.B.C.D.以上都不对2．定点（2，－3，－1）关于OYZ平面的对称点

4、是（）A.（－2，－3，－1）B.（2，－3，1）C.（2，3，－1）D.以上都不对3．向量的同方向单位向量是（）A.B.C.D.4．平面与直线的位置关系是（）A.垂直B.平行C.斜交D.直线在平面上5．在空间直角坐标系下，方程表示（）A.圆柱面B.旋转抛物面C.球面D.椭球面6．在下列方程中，表示柱面的是（）A.B.C.D.7．设向量，，那么与之间的关系是（）A.B.C.小于D.大于8．已知向量与平行，则（）A.，B.，C.，D.，9．设两个平面方程分别为及，则这两个平面（）A.相交但不垂直B.垂直相交C.平行D.重合10．平面与直线的位置关系是（）A.垂直B.平行C.

5、斜交D.直线在平面上分析与解答：1．两条直线平行则它们的方向向量也平行，故所求直线的方向向量可取已知直线的方向向量，即{3，2，1}，由直线的标准方程式：，得所求直线的方程为：，即A正确。2．与OYZ平面对称的点，其坐标变号，其余坐标不变，故A正确。3．A、B不是单位向量，C、D都是单位向量，而C才是同方向单位向量。4．平面与直线垂直的充要条件是平面的法向量与直线的方向向量平行；平面与直线平行（包括直线在平面上）的充要条件是平面的法向量与直线的方向向量垂直。当平面与直线平行时，还需判断直线是否在平面上，方法是：将直线上的点的坐标代入平面方程中，如果满足该平面方程，则说明直

6、线在平面上；否则直线与平面平行且直线不在平面上。本小题平面的法向量为{2，－1，4}，直线的方向向量为{3，－2，－2}，于是有：，即，而直线上的点（1，0，－2）代入平面方程中有2×1－0＋4×（－2）－5≠0，因此，直线与平面平行（但直线不在平面上），应选B。5．要记住几种空间曲面及其方程：①球面方程：或球心在原点的球面方程：；②椭球面方程：；③柱面方程――缺一个变量的方程，最典型是圆柱面方程：；④旋转抛物面方程：因此，本小题的方程属旋转抛物面，应选B。6．由上小题分析，本小题答案中B正确。7．因为，故，即A正确。8．两向量平行则它们的坐标成比例，即：，因此，，，即C

7、正确。9．两平面的法向量分别为{1，－1，5}，{1，－3，－1}，而因此，两平面不垂直；显然两法向量不成比例，也即两平面不平行。故只有A正确。10．平面的法向量与直线的方向向量相等（或成比例），即法向量平行于方向向量，故平面与直线垂直。三、计算题1．求过点P（2，3，－1）且与直线、都平行的平面方程。分析：两条直线都与所求平面平行，则它们的方向向量都可以移至平面内，且两方向向量不平行，故平面的法向量可取两方向向量的向量积，再由平面的点法式方程便可求得平面方程。解：直线、的方向向量分别为：＝{3，1，－2}和＝{2，－3，1}