高考专题圆锥曲线的离心率问题精品之高中数学（文）---精校解析Word版

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1、第78题圆锥曲线的离心率问题I．题源探究·黄金母题【例1】设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．【解析】椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积；椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积．（记忆方法：无论椭圆焦点在哪个轴，总是以椭圆方程中的分母为分母）由拓展，知精彩解读【试题来源】人教A版选修1-1P35例3改编．【母题评析】本题考查椭圆离心率的求法，考查考生的计算能力．【思路方法】结合椭圆的简单几何性质、离心率计算公式、两点间斜率公式

2、等解题．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考浙江卷】椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，选B．【例2】【2017高考全国II文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【命题意图】这类主要考查椭圆、双曲线的离心率（活期取值范围）．能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，大多数难度中等偏易，少数题为压轴题，难度较大．【难点中心】椭圆（双曲线）的离心率是双曲线最重要的几何性质，求椭圆（双曲线）的离心率（或离心率的取值

3、范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；【解析】由题意，因为，所以，则，故选C．【例3】【2017高考全国III卷】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而，椭圆的离心率，故选A．【例4】【2017高考北京卷】若双曲线的离心率为，则实数m=_________．【答案】2【解析】，，解得．【例5】【2017高考全国

4、I卷】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）．，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离在中，，代入计算得，即，由得，．【例6】【2017高考天津卷节选】已知椭圆的左焦点为

5、，右顶点为，点的坐标为，的面积为．（I）求椭圆的离心率．【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据图象分析出，再结合，求得离心率．试题解析：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即．又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．III．理论基础·解题原理在椭圆中有：，；在双曲线中有：，．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，一般以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【技能方法】1．求离心率的方法：（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，

6、如利用，；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．2．求解离心率的范围的方法（1）借助平面几何图形中的不等关系：根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围．（2）借助题目中给出的不等信息：根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式

7、，从而求解．（3）借助函数的值域求解范围：根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围．（4）根据椭圆或双曲线自身的性质求范围：在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，，P是椭圆上任意一点，则等．V．举一反三·触类旁通考向1求椭圆的离心率【例1】【2018四川凉山】以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【例2】【2018黑龙江大庆】以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点

8、，满足，则该椭圆的离心率为（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】延长与椭圆交于，如图所示：∵与互相平分，∴四边形是平行四边形．∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，∴