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《高考专题空间角的计算-精品之高中数学（文）---精校解析Word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第65题 空间角的计算I．题源探究·黄金母题【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.【解析】连接B1C交于O，连结A1O，因为,,,A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，是A1B与平面A1B1CD平面所成的角。在中，由，，知即A1B与平面A1B1CD平面所成的角为【名师点睛】解决直线与平面所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。II．考场精彩·真题回放【例2】【2014新课标2】直三棱柱ABC-A1B1
2、C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，且，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB=在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=故选：C．【例3】【2016高考新课标1文
3、数】平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,,,则m,n所成角的正弦值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】分析：如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,故选A.【名师点睛】关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.【例4】【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是___
4、___．【答案】【解析】分析：设直线与所成角为．设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以＝，所以时，取最大值．【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与平行的单位向量和，进而可得直线与所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线与所成角的余弦值的最大值．【例5】【2016高考上海文科】将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B
5、1与OC所成的角的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．计算体积与侧面积即得.（2）由得或其补角为与所成的角，计算即得．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．圆柱的体积，圆柱的侧面积．（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为与所成的角．由长为，可知，由长为，可知，，所以异面直线与所成的角的大小为．【例6】【2017天津文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）异面直线所成的角
6、一般都转化为相交线所成的角，，所以即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明，所以；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做，连结,即为所求.解析：（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）解：过点D作AB的平行
7、线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC –BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.【名师点睛】用几何法求线面角，关键是找到射影，斜线与其射影所成的角，就是线面角.【例7】【2015高考湖南
