2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.3.3 Word版含解析.doc

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1、第一章1.31.3.3A级　基础巩固一、选择题1．(2016·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)(　D　)A．有极大值，无极小值　B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值[解析]　∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，∴[x2f(x)]′＝，令F(x)＝x2f(x)，则f′(x)＝，F(2)＝4·f(2)＝.由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2f

2、′(x)＝.∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.又x＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．2．(2017·开滦二中高二检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　B　)A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，)[解析]　f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x

3、0，使得在(0，x0)内f′(x)<0，在(x0,1)内f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴∴0

4、，最小值为－15，故选A．4．(2016·德州高二检测)已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)

5、，则a的取值范围是(　D　)A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)[解析]　∵2x(x－a)<1，∴a>x－，令y＝x－，∴y是单调增函数，若x>0，则y>－1，∴a>－1.6．(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(　B　)A．3x－15y＋4＝0B．15x－3y－2＝0C．15x－3y＋2＝0D．3x－y＋1＝0[解析]　∵f(x)＝－x3＋2ax2＋3x

6、，∴f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋2a2＋3，∵f′(x)的最大值为5，∴2a2＋3＝5，∵a>0，∴a＝1∴f′(1)＝5，f(1)＝.∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.二、填空题7．曲线y＝xex在点(0,0)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2－4x＋3＝0上的点的最近距离是　－1　.[解析]　y′

7、x＝0＝(x＋1)ex

8、x＝0＝1，∴切线方程为y＝x，圆心(2,0)到直线的距离d＝，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为－1.8．函

9、数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__.[解析]　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.三、解答题9．(2016·昆明高二检测)设函数f(x)＝x2－ax＋2lnx(a∈R)在x＝1时取得极值.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[

10、解析]　(1)f′(x)＝x－a＋，因为当x＝1时f(x)取得极值，所以f′(1)＝0，即1－a＋2＝0，解得a＝3，经检验，符合题意．(2)由(1)得：f(x)＝x2－3x＋2lnx，∴f′(x)＝x－3＋＝，(x>0)，令f′(x)>0解得02，令f′(x)<0解得1