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1、则sin*1230°+cos230°=sin45cos45°=t则sin245°+cos245°=]sin60°=^^,cos60°=—22则sin260°+cos260°=专题二新定义型问题一、中考专题诠释所谓"新定义〃型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，耍求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型•“新定义〃型问题成为近年来川考数学压轴题的新亮点•在复习屮应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲"新定义型专题〃关键要把握两点：一是掌握问题原型的特
2、点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=.④(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾投定理对ZA证明你的猜想;3(2)已知：ZA为锐角(cosA>0)且sinA二—，求cosA.5思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1；(1)如图，过点B作BD1AC于D,则ZADB=90°.利用锐角三角函数的定义得出皿鈴，cos
3、A晋，则龄+站=唱笋，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1；（2）利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA>0且sinA=-,进行求解.5解：Vsin30°=—cos30°=—,22Vsin45°=—,cos45°=—,2=—+—=1；②2222Asin245°+cos245°=(——)2+2Vsin60°=T,cos60°=r曲6。。+曲60。二（£）「*）冷+十1.③52型，cosA=^ABAB.sin2A+cos2A=(BD)„2BD2+AD2~ABAB^~•••ZADB=90°,a
4、bd2+ad2=ab2,Asin2A+cos2A=1.(2)VsinA=—,sin2A+cos2A=1,ZA为锐角,点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单.对应训练1.(2013-绵阳)我们知道，三角形的三条屮线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题•请你利用重心的概念完成如下问题：AD3(1)若O是AABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明：——=一；AD3(2)若AD是AABC的一条中线(如
5、图2),O是AD±一点，且满足——,试判断O是AABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O是AABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与厶ABC的顶点重合)(如图3),S四边形bchg，Sugh分别表示四边形BCHG和ZXAGH的而积，试探究S四边形回©的最大值.(E3)V(SI)(ffi2)2.(1)证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E.答图1点0是AABC的重心，・・・CE是中线，点E是AB的中点.DE是中位线，DE//AC,KDE=-AC.DE〃AC,AAOC^ADOE,AO_ACOD~
6、DEAD=AO+OD,AO2AD3(2)答：点0是AABC的重心.证明：如答图2,作AABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为AABC的重心.答图2由(1)可知,r.AO2rfn—=—,AD3AO2・••点Q与点0重合(是同一个点),・••点0是厶ABC的重心.(3)解：如答图3所示，连接DG.答图3AQ9设Sagod=S»由(1)知——,即OA=2OD,AD3Saaog为简便起见，不妨设AG=1,BG=x,则Sabgd=3xS.Saabd=Saagd+Sabgd=3S+3xS=(3x+3)S,Saabc=2Saabd=(6x+6)S.设OH二k
7、・OG,由SziAG0=2S,得Saaoh二2kS,(6x-2k+4)S.Saagh=Saago+Saaoh=(2k+2)S.・：S四边形bchg=Szsabc・Saagh二(6x+6)S-(2k+2)S=・.S四边形bcwg=(6x・2k+4)s二3E+2S—GH(2R+2)SR+l如答图3,过点0作0F〃BC交AC于点F,过点G作GE〃BC交AC于点E,则0F〃GE.・・・OF〃BC,•OF_AO_2••,CDAD3AOF=-CD=-BC；33・・・GE〃BC,・GE_AG_1BCAB兀+1・・・GE二竺；x+l1BC・OF_3丿+1•・GE_
8、BC3'兀+1.OF_x+1_x+lGE—OF3—(x+1)2—x•・・OF〃GE,.OHOF••=,GHGE.OH_OF
