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时间:2019-06-25
《初中数学二轮复习专题讲义专题02二 新定义型问题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中的新定义例1(2013•湛江)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:13
2、sin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°=;①2222sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°=;②2231sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°=.③22…观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=.④(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;3(2)已知:∠A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.5思路分析:①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;④由前面①②③的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin2A+cos
3、2A=1;(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.22BDADBDAD利用锐角三角函数的定义得出sinA=,cosA=,则sin2A+cos2A=,再2ABABAB根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1;3(2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA>0且sinA=,进行求解.513解:∵sin30°=,cos30°=,221313∴sin230°+cos230°=()2+()2=+=1;①224422∵sin45°=,cos45°=,222211∴sin245°+cos245°=()2+()2=
4、+=1;②222231∵sin60°=,cos60°=,223131∴sin260°+cos260°=()2+()2=+=1.③2244观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.BDAD∵sinA=,cosA=,ABAB22BDADBDAD∴sin2A+cos2A=()2+()2=,2ABABAB∵∠ADB=90°,∴BD2+AD2=AB2,∴sin2A+cos2A=1.3(2)∵sinA=,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角,5324∴cosA=1().55点评:本题考查了同角
5、三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单.对应训练1.(2013•绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:AO2(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;AD3AO2(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断OAD3是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB
6、、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探S四边形BCHG究的最大值.SVAGH2.(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.∴DE是中位线,1∴DE∥AC,且DE=AC.2∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE,AOAC∴=2,ODDE∵AD=AO+OD,AO2∴=.AD3(2)答:点O是△ABC的重心.证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.AO2由(1)可知,=,AD3AO
7、2而=,AD3∴点Q与点O重合(是同一个点),∴点O是△ABC的重心.(3)解:如答图3所示,连接DG.AO2设S△GOD=S,由(1)知=,即OA=2OD,AD3∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.∴S四边形BCHG=S△ABC-
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