2.6实数例题与讲解(2013-2014学年北师大八年级上).doc

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1、6　实数1．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数．(2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏．对啊!还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色.我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例1】把下列各数填入相应的集合内：0，，，0.，－π，－，1.23456…，－49.(1)有理数集合：{　　

2、　　　…}；(2)无理数集合：{　　　　　…}；(3)正实数集合：{　　　　　…}；(4)负实数集合：{　　　　　…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：，0.，－，－49，….(2)无理数集合：{，－π，1.23456…，…}．(3)正实数集合：，0.，－，1.23456…，….(4)负实数集合：{－π，－49，…}．点技巧实数的有关性质解答本题时要注意以下

3、几点：(1)对于－，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．2.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a与b互为相反数．如：π与－π，与－均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实

4、数a的绝对值可表示为

5、a

6、＝就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即

7、a

8、≥0，并且若

9、x

10、＝a(a≥0)，则x＝±a.例如：

11、－

12、＝，

13、－π

14、＝π，

15、

16、＝，

17、－

18、＝－(－)＝－，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实

19、数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例2－1】解答下列问题：(1)求的绝对值；(2)若某数的绝对值是，求这个数；(3)已知

20、x

21、＝，求实数x；(4)设a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数是其本身，化简＋(a＋b)m－

22、m

23、.分析：(1)＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a与b互为相反数可得a＋b＝0，由c与d互为倒数可得cd＝1，由m的倒数是其本身

24、可得m＝±1，然后化简可解．解：(1)

25、

26、＝

27、－6

28、＝6.(2)∵

29、

30、＝，

31、－

32、＝，∴绝对值是的数是±.(3)∵

33、x

34、＝，∴x＝±.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－

35、－1

36、＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例2－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.1415和－π；(2)2和3.分析：解：(1)∵

37、－3.1415

38、＝3.1415，

39、－π

40、＝π＝3.141592…，3．1

41、415＜π，∴－3.1415＞－π.(2)∵(2)2＝4×11＝44，(3)2＝9×5＝45,44＜55，∴2＜3.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为2和3都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．3．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例3】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在

42、数轴上画出表示的点．分析：考虑到()2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为的线段，从而找到表示的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示