2.1认识无理数例题与讲解(2013-2014学年北师大八年级上).doc

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1、1　认识无理数1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一

2、个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．1415926，－，2.，6.7517551755517…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，，－5.2，－.分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.1415926，－，2.，0，，－5.2；无理数有：6.7517551755517…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－.2．无理数近似值的估算方法要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整

3、数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】面积为7的正方形的边长为x，请你回答下列问题．(1)x的整数部分是多少？(2)把x的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？(3)x是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S，则S＝x2＝7，当2＜x＜3时，4＜x2＜9，当2.6＜x＜2.7时，6.76＜x2＜7.29；当2.64＜x＜2.65时，6.9696＜x2＜7.0225；当2.645＜x＜2.646时，6.996025＜x2＜7.0

4、01316；…则有：(1)x的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x≈2.6，精确到百分位时，x≈2.65.(3)x不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x是无限不循环小数．释疑点如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.41421356…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.1010010001…(相邻两个1之间0

5、的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．(3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，，－4,0.，－，1.112111211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.1415927.分析：1.112111211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.，－，3.1415927为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.，－，3.1415927；无理数为，1.112

6、111211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区π与3.1415927的区别3．1415927属于有限小数，不是π，要注意区分．4．无理数的应用无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．【例4】如图所示，要从离地面5m的电线杆上的B处向

7、地面C处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C到A处的距离为3m，求钢丝绳BC的长度(精确到十分位)．分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算BC的长．解：由勾股定理，得BC2＝AB2＋AC2＝34.当5＜BC＜6时，25＜BC2＜36；当5.8＜BC＜5.9时，33.64＜BC2＜34.81；当5.83＜BC＜5.84时，33.9889＜BC2＜34.1056；…故当精确到十分位时，BC约为5.8m.