2015-2016年湖南省长沙一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

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pa2015-2016学年湖南省长沙一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5分）设f：x^log2x是集合A到对应的集合B的映射，若A={1,2,4},则AnB等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.（1,4}2.（5分）复数z满足z・i=3-i,则在复平面内，其共辘复数匚对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5分）命题“设二W是向量，若；二-*则|a|=|b|/z的逆命题、逆否命题分别是（）A.真命题、真命题B.假命题、真命题C.真命题、假命题D.假命题、假命题4.（5分）设函数f（x）的定义域为R,则"DxGR,f（x+1）>f（x）〃是"函数f（x）为增函数〃的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件JT5.（5分）J：sin2xdx的值是（）A.1B.・1C.2D.・26.（5分）如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB=a,AC=b,则忑二（）1一—D.尹7.（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（）X-10123f（X）・0.6773.0115.4325.9807.651g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892A.(・1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)8.（5分）如图所示的函数f（x）=2sin（wx+0）（w>0,0<兀）的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5,那么f（-1）二（）A.-1B.2C.-2D.29.（5分）在锐角△ABC屮，已知BO1,B=2A,则AC的取值范围是（）A.（0，后）B.（0,佃）C.（伍，V5）D.（临，2）10.（5分）已知点P是曲线y=lnx上的一个动点，则点P到直线1：y二x+2的距离的最小值为（） A.vlB.2C・色邑D.2迈21.(5分)某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.己知在过滤过程中废气屮的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间I(单位：小时)Z间的函数关系为：P=Poe_kt,(k,Po均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%・那么，至少还需()时间过滤才可以排放.A.丄小时B.§小时C.5小时D.10小时29丄2.(5分)己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x-1)为偶函数，当xe［0,1］时，f(x)若函数g(x)=f(x)-x-b有三个零点，贝II实数b的取值集合是(以下kez)()A.(2k■丄，2k+丄)B.(2k+丄，2k+§)C.(4k■丄，4k+丄)D・(4k+丄，4k+2)44224422二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上・・3.(5分)已知平面向量二亍满足：二(1,-1),(a+b)l(a-b)，那么Ib1=_14.(5分)执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是15.(5分)设函数y二f(x)的图彖与y=2xa的图象关于y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=l,则a二.16.(5分)己知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)二丄(|x+—tana+|x+tana|+—tana)(a222为常数，且・2L0,且w为常数，若函数y=f(wx)在区间,ZL］上是增函数，求w的取值范围；23(2)设集合A二{x|=WxW文兀},B={x||f(x)-m|<2},若AUB二B,求实数m的取值范围.6319.(12分)已知函数f(x)=(x-a)sinx+cosx,xE(0,n).(I)当a=匹时，求函数f(x)值域；2(II)当a>—吋，求函数f(x)的单调区间.2 15.(12分)已知曲线Ci上任意一点M到直线1：x=4的距离是它到点F(1,0)距离的2倍；曲线C?是以原点为顶点，F为焦点的抛物线. (I)求Ci，C2的方程；(II)过F作两条互相垂直的直线1］,12,其中11与Cl相交于点A,B,12与C2相交于点C,D,求四边形ACBD面枳的取值范围.15.(12分)已知aGR,函数f(x)=^x3-x2+ax-a+1.3(1)若f(x)是区间［0,2］上的单调函数，求实数“的取值范围；(2)在(1)条件下，记M(a)是|f(X)|在区间［0,2］上的最大值，求证：M(a)12选做题。请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.选修4・1几何证明选讲16.(10分)如图，AABC为圆的内接三角形，AB=AC,BD为圆的弦，且BD〃AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE=6,BD=5,求线段CF的长.选修4-4坐标系与参数方程23.己知直线1：<(1r-(t为参数)，曲线S(8为参数).ly-sine2T,得到曲线C2,设点P(I)设1与C］相交于A,B两点，求|AB|；(ID若把曲线Ci上各点的横坐标压缩为原来的丄倍，纵坐标压缩为原来的2是曲线C2上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.选修4-5不等式选讲24.已知函数f(x)=|x-1|,g(x)=-|x+31+a(a^R)(1)若a=6,解不等式f(x)>g(x)；(2)若函数y二2f(x)的图象恒在函数y二g(x)的图象的上方，求实数a的取值范围.2015-2016学年湖南省长沙一中高三（上）第一次月考数学试卷（I科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5分）（2014*宿州一模）设f：xTlogzx是集合A到对应的集合B的映射，若A={1,2,4},则AcB等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,4}【分析】根据f：x^log2x是集合A到对应的集合B的映射，由A屮的元素确定出B屮的元素，确定出B, 求出两集合的交集即可.【解答】解：・.・f：xT10g2X是集合A到对应的集合B的映射，且A={1,2,4},・・・B二{0,1,2},则AcB二{1,2}.故选C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.1.（5分）（2015秋•长沙校级月考）复数刁满足zf（x）〃是“函数f（x）为增函数〃的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解：若函数f(X)为增函数，则f(x+1)>f(X)成立，必要性成立.若VxeR,f(x+1)>f(x)”,则函数f(x)不一定为增函数，例如分段函数：f(x)二x,xe[O,1),f(x+1)=f(x)+丄，满足f(x+l)>f(x),而f(x)不是增函2数.充分性不成立.即"0xGR,f(x+1)>f(x)〃是"函数f(x)为增函数〃的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义是解决本题的关键.1.(5分)(2015秋•长沙校级月考)；2sin2xdx的值是()A.1B.・1C.2D.・2【分析】找出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可.TTJT【解答】解：Jgsin2xdx=(-*cos2x)|(=1；故选A.【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出原函数.2.(5分)(2013秋•德州期中)如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，^=3,AC=b,则忑二(C.f1—•1一—11—*A.a-—bB.—a-bC.a+-=-bD.—ar^b2222【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可.【解答】解：如图：连结CD,OD,•・•己知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点,AAODC是平行四边形，AD=A0+0D=—a+b-【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题.3.(5分)(2014・湖北模拟)已知函数f(x)与g(X)的图象在R上不间断，由下表知方程f(x)=g(x)有实数解的区间是()x-1 f(x)-0.6773.0115.4325.9807.651g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【分析】构造函数F(x)=f(x)-g(x),则由题意，F(0)=3.011-3.451<0,F(1)=5.432-5.241>0,即可得出结论.【解答】解：构造函数F(X)=f(x)-g(X),则由题意，F(0)=3.011-3.45K0,F(1)=5.432・5.241>0,・•・函数F(x)=f(x)-g(x)有零点的区间是(0,1),・・・方程f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),故选：B.【点评】本题考查方程f(x)=g(x)有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题.1.(5分)(2015秋•长沙校级月考)如图所示的函数f(x)二2sin(wx+①)(闪>0,图象，其中A、B两点Z间的距离为5,那么f(・1)=()A.・1B.2C.・2D.2【分析】根据题意，求出函数的半周期，计算3的值，再求出4)的值，写出f(x)的解析式，计算出fC-il的值.【解答】解：根据题意，A,B两点之间的距离为5,A,B两点的纵坐标的差为4,所以函数的半周期为-T=-../52_42=3,解得*6；2[nil2兀兀贝IJQ)二二——，T3TT函数解析式为f(x)=2sin(丄x+e)；3由f(0)=1,得2sin—，且2A=B<—,222解得：2L0时，f(x)二丄2(|x+—tana|+1x+tana|+—tana)(a为常数，且-込-Vavf,若Vx^R,都有f(x-3)Wf(x)恒成2222立，则实数a的取值范围是-匹WaV匹.—_±_2__【分析】令t=ltana,讨论t,把xMO时的f(x)改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得2x<0时的函数的最大值，由对xWR,都有f(x・3)Wf(x),可得・2t・(4t)W3,求解该不等式得答案.【解答】解：令t=-^-tana,则当x>0时，f(x)=—(|x+t|+|x+2t|+3t),22若t20,则当x>0时，f(x)=x+3t,当x<0时,f(x)=・f(・x)=・(-x+3t)=x-3t,由f(x-3)Wf(x)恒成立，可得y二f(x)的图象恒在y二f(x-3)的图象上方，则丄tana^O；2-x,-t当t<0时，当x20时，f(x)=•t,-t0时,f(X)min=t.・・•函数f(x)为奇函数，・••当X<0时，f(X)max=・t.・・•对xWR,都有f(x-3)Wf(x),/.-3t-3tW3,解得-—WtVO,2 即有-丄W丄tanaVO,22综上可得tana^-1,TTTT解得・=kTtWa'，，3~3^3.2222【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.18・(12分)(2015秋•长沙校级月考)已知函数f(x)=4sinx*sin2(丄匚+兰)+cos2x42(1)设w>0,且w为常数，若函数y=f(wx)在区间[-匹，22L]上是增函数，求w的取值范围；23(2)设集合A二{x|=WxwN=},B={x||f(x)・m|<2},若AUB=B,求实数m的取值范围.63【分析】(1)利用倍角公式、诱导公式即可得出f(x)=2sinx+l.再利用三角函数的单调性即可得出.(2)|f(x)-m|<2,可得：f(x)-2—时，求函数f(x)的单调区间.2【分析】(I)当a丄时，表示出f(x),求得卩(x),由导数符号可判断函数的单调性，由单调性可知2函数的最值，从而可得值域；(II)分—兀，a^n两种情况进行讨论，在定义域内解不等式可求得函数的单调区间；2【解答】解：(I)当a=兀时，f(x)=(x--^―)sinx+cosx,xW(0,r).22f(x)=(x-—)cosx,由f(x)=0得x=-^,22f(x),f(x)的情况如下:X(0,K)兀(K、(——，H)222兀—0+X2COSX+0-f(X)一0一f(x)11因为f(0)=1,f(R)=・1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).(II)f(x)=(x-a)cosx,①当今《时’f15的情况如下X(0,A)2兀2(兀，2a)a(a,n)x-a—-0+cosx+0--f(x)-0+0—f(x)ITI TTTT所以函数f(x)的单调增区间为(上，a),单调减区间为(0,—)和(a,n).22②当时，f(x),f(x)的情况如下X(0,兀)2兀2(——、H)2x-a—-cosx+0-f(x)—0+f(x)I个所以函数f(x)的单调增区I'可为(丄匚，it),单调减区间为(0,—).22【点评】该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属屮档题.19.(12分)(2015秋•长沙校级月考)已知曲线C］上任意一点M到直线1：x=4的距离是它到点F(1,0)距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点，F为焦点的抛物线.(I)求Ci，C2的方程；(II)过F作两条互相垂直的直线h，12,其中h与Ci相交于点A,B,12与C2相交于点C,D,求四边形ACBD面枳的取值范围.【分析】(I)设M(x,y),由已知条件推导出2血-1)备2二-4|，由此能求出G的方程；由曲线C2是以原点为顶点，F(1,0)为焦点的抛物线，能求HlC2的方程.(II)由题意设b的方程为x=ky+l,代入y2=4x,得『・4ky・4=0,设C(xi，yi),D(X2，y2)，从而求2出|CD|=4(k2+l).由h丄12，设h的方程为y=-k(x-1),由此求出|AB|=l2(k+".由此能求出四4k2+3边形ABCD面积的取值范围.【解答】解：(I)设M(x,y),J曲线Ci上任意一点M到直线1：x=4的距离是它到点F(1,0)距离的2倍，A2V(x-1)2+y2=丨x_4|‘22化简得：牛+宁二1.22・・・Ci的方程为»+宁二1，・・•曲线C2是以原点为顶点，F(1,0)为焦点的抛物线，・・・C2的方稈为y2=4x.(4分)(II)由题意设12的方程为x=ky+l,代入y2=4x,得y2-4ky-4=0,设C(xi，yi),D(X2，y2)，则yi+y2=4k,/.ICD|=|CF|+1DF|=xi=l+x2+1=k(yi+y2)+4=4(k+1)•(7分)Th丄b，・••设h的方程为y=・k(x・i), 22代入丄+―二1得：(4k2+3)x243-8k2x+4k2-12=0,设A(X3,y3)，B(X4,y4)，则X3+X4—8k24k2+3・・・|ab|=|af|+|bf|二L(4一2J—尸诗S)=警严。分・・・四边形ACBD的面积为:HIABNCDI=24(k2+l)_24t2(4t_1+_L_+2)=|_(s+±+2),(其中匸1?+恃1,s=4t-14k2+34t-l223).设f(s)=s+—(sM3),s则f'(s)二1-寺二£$>0,ss・・・f(s)在［3,+8)单调递增，・・.S」(s+丄+2)2》(3+丄+2)=8,2s23当且仅当s=3,即k=0时等号成立.・・・四边形ABCDffi积的取值范围为［8,+oo).(13分).【点评】本题考查曲线方程的求法，考查四边形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.19.(12分)(2015秋•长沙校级月考)已知aWR,函数f(x)二・x'+ax・a+1・3(1)若f(x)是区间［0,2］上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)在(1)条件下，记M(a)是|f(X)|在区间［0,2］上的最大值，求证：M(a)12【分析】(1)由求导公式和法则求出f(x),由导数与函数单调性的关系可得：f(x)20在［0,2］恒成立或f(X)W0在［0,2］恒成立，由二次函数的性质列出不等式，求出实数a的取值范围；(2)由(1)对a分类讨论，分别判断出f(x)的单调性、求出最大值或最小值，再根据a的范围求出If(x)|的最大值，并证明结论成立.【解答】解：(1)由题意得，f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,Vf(x)是区间［0,2］上的单调函数，Af(X)20在［(),2］恒成立或F(X)W0在［0,2］恒成立，Af(1)二a・1M0或F(0)=f(2)二aWO,解得“Ml或aWO,则实数a的取值范围是(-8,O］U［1,+oo)；证明：(2)由(1)得：①当a>l时，f(x)20,・・・f(x)在［0,2］单调递增，・°・f(x)地小值=f(°)二-a+lWO,f(x)报大值=f(2)二a-丄，3 又If(0)|=a・lA;②当aWO时，r(x)wo,Af(x)在［0,2］单调递减,・・・f(x)W(2)=a-l<0,『(x)’T(0)「a+l又If⑵』a+*g(x)；(2)若函数y=2f(x)的图象恒在函数y二g(x)的图象的上方，求实数a的取值范围.【分析】(1)根据绝对值不等式的几何意义求出不等式的解集即可；(2)由题意可得2f(x)-g(x)>0,即a<2|x-1|+|x+3|.设h(x)=2|x-1|+|x+3|,利用单调性求的h(x)的最小值，可得a的范围.【解答】解：(1)原不等式可化为:|x-l|+|x+3|>6, 由绝对值的儿何意义得：不等式的解集是｛x|x>2或x<・4｝；(2)y=2f(x)图象恒在g(x)图象上方，故2f(x)-g(x)>0,等价于a<2|x-l|+|x+3|,-3x-1,x=C-3设h(x)=21x-11+1x+31=•5_x,-3<3x+l,x>l根据函数h(x)的单调减区间为(-g,1］、增区间为(1,+8),可得当x=l时，h(x)取得最小值为4,・・.aV4时,函数y=2f(x)的图象恒在函数y=g(x)的上方.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.