§24平稳序列的偏相关系数和levinson递推公式

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1、§2.4平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式平稳序列｛X」的川阶Yule-Walker方程r,fln=yn其中an=(anA,an2,,陽)称为的川阶y_w系数.当几正定时，即刻得到a,严巧叽.例4.1在均方误差最小的意义下，用X„+l预测X曲时预测的误差最小.其中Xn=(XpX2,,X„)T,镯为Y・W系数.证设任b=%,b“.2,，船，JT,作预测b：X”,则E(X讪一b：X”)2=E(X,沖一力X”+q：X”一4X)=E(X*+Eg"JXJ+2E[(X”+厂力>E(Xn+1-

2、D(«W-^)=O.若7kAR(p)序列的自协方差函数，则rflY-W方程确定的Y・W系数陽，使A(z)=1-工QjZ，H0,当

3、z

4、

5、z151时.（见附A）7=1定理4.2（Levinson递推公式）若几“正定，则用b；E(X屮一a；Xj2,

6、知-厂1§丿S人定义4.1若几+］正定，称％为｛XJS关系数.满足:s=a，s，q〃,°，,°r=(%，%，山、p即满足：0,n>p.此时称是"后截尾的.定理4.3零均值平稳序列｛X」是AR(p)序列O偏相关系数①,”在〃后截尾•(证略)实用屮的步骤：1）获得西,兀2,，兀”;2）计算久；3）利用Levinson的递推公式求（akk}4）若{心』在”后表现出截尾性，则〃作为卩估计5）利用Y・W方程求出°〃的估计（久么，，色）1若心+严（久t）（msi）正定，则得到入⑵=1-刃产丿>1为稳定的AR(p)模型.若det(/.+1)取值较小，说明匸定性较弱，稳定性较差

7、，2(z)有接近单位圆的根.§2.5AR(p)序列举例例5.1对

8、a

9、虬；『0自协方差函数:倍；>01一aYk=aYk-==叹；自相关系数:pk=yjyo=ak;谱密度(2g

10、-^tt])相应的谱密度图分别如下:(1)(2)(5)(6)a=0.85,左现山匕籽性相邻的数tw农別不人(1)屮的现毀金{pk}得剑体现・柿邻«(机变虽iE4flX?Pk敏两滋少的于o谓懈血的能tt樂中e低额7(A)V/(O),A€(O.k]敬t«尤MJ期现彖周卿丁=薯=OQ倣相处坯敎6」一0.&5—0,当k>1tiSa按近

11、FO,Pk以Of快的速度收敕纳o(1)(2)(5)⑹Q.=—0.85散加I：卜IX动也勢性不明显.(1)小的现徐金{“U傅列体现•相邻岡机变fit负相关"正负立妗曲于O谐H?丿工能htttS中金周枫/(A)V/(7T),A€[0,7T)数1・上述性帧:Bfia按逬-1变得更HJJ匾.KU«按近0仝得不明显例5.2AR⑵模型Xt=a{Xt^+a2Xt^+snre,{^}-WN(O,cr).讨论:])A(z)=l-a{z-a2z2的根均在单位圆外<^>a2±al<1,

12、<221

13、<1（略）2）自相关系数｛久｝满足Pq=、Pk=aPk-+aiPk-i^P~—5—，k>1i-a2（再从Y-W方程）2解出p2=a2+——.1—172称A=｛（坷卫2）I$±4V1，1。2V1｝为ar⑵的稳定域;相应地，称C={(p,P2)S；为AR(2)的允许域.3)AR(2)的谱密度/(2)=人市•若A(z)有接近1的共觇根zL2=pe^,则在入附近有一个峰值，有一个周期为2兀入特征.实例X/=0.75Xm-0.5Xz_2+^E〜标准正态白噪声WN(O,1);特征函数:A(z)=1-0.75z+0.5z2;特征根：zu=2.135e±d；自相关系数：

14、(逐个推算出)Pz=[0.5,-0.125,-0.344,-0.196,0.25]Y-W系数是q=0.5,a2=(0.75,-0.5)1%=(0.75,-0.5,0)「截尾谱密度(2w[―龙,兀])兀刃_2/rl1.8125-2.25cos2+cos(22)]谱密度曲线在入=0.9733处达到峰值，故冇相应的周期7=2^=6.455.图形有此特征.