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1、§1.3线性平稳序列和线性滤波简介1.有限运动平均2.线性平稳序列3.时间序列的线性滤波1.有限运动平均设是,称为白噪声的(有限)运动平均,也称滑动平均,简称MA(MovingAverage)0均值白噪声MA必平稳注:此处的=前2节中的=去除趋势季节的时间序列*证:对此有,所以是平稳序列,自协方差函数为了推广至无限,介绍下面定理.*定理3.1(单调收敛定理)设不减随机列为,即,则当时,有.此处可以是广义随机变量,可能有,这时,.对任何,由以上定理,得.*定理3.2(控制收敛定理)若随机变量序列满足和,则当时
2、,有.2.线性平稳序列称是绝对可和的:若.设为零均值白噪声,用绝对可和列定义:无穷滑动和,则是平稳序列.(即称线性平稳序列)即0均值白噪声无穷滑动和必平稳*证:故是a.s.绝对收敛,从而是a.s.收敛.又因为.故由控制收敛定理,得对,定义,则且.又利用单调收敛定理,得故由控制收敛定理,得即是平稳序列,有定理3.3设是,用定义的:,是平稳序列,且.只证.由Cauchy不等式.线性平稳序列运用较广.实用意义:若序列平稳,且其样本自协方差函数,当时,趋于零,则就可用描述.即大部分平稳序列=0均值白噪声无限滑动和实
3、用中,常用到单边无穷滑动:表明,现在的仅受当前及过去噪声影响.后面的任务:若已知平稳,如何求出.再后:估计或预测未来3.时间序列的线性滤波简介-处理信号的一种方法线性低通滤波器:结构--线性功能--滤除高频噪声的变换设为绝对可和实数列(滤波器参数),则称为一个保时(时不变)线性滤波器.如a=rand(1,100);plot(a);pause;fori=4:100b(i)=mean(a(i-3:i))/4;end;plot(b);pause;fori=4:100c(i)=mean(b(i-3:i))/4;en
4、d;plot(c);若为平稳信号,有及.参照2中方法,可得是平稳信号,有和自协方差函数若取则直观意义:前后平滑,具有抑制噪声的作用.例3.1余弦波信号的滤波.设其中()是平稳序列,,,随机变量且与独立.由例2.2知:信号的方差ó信号的强度,噪声的方差ó噪声的强度信号噪比.用滤波器滤波其中.滤波器的输出与输入同频,中信号强度中噪声故信噪比.当取时,信噪比例如取滤前信噪比1.125滤后信噪比3.245,放大了2.884倍.§1.4正态时间序列和随机变量的收敛性简介1.随机向量的数学期望和方差设为随机向量,则,.
5、对,有,.定义4.1维正态分布随机向量这里,其中独立.则有.简记为.2.正态平稳序列(严平稳的概念)定义4.2正态时间序列:若,若又是平稳的,则称是正态平稳序列.定义4.3设随机变量和的分布函数为和(1)依分布收敛到:若,在每个连续点上.(2)依概率收敛到:若(3)在下收敛到:若.(4)均方收敛到:若.定理4.2(4)(3)(2)(1).证明略.定理4.3若正态时间序列依分布收敛到随机变量,则,并且.定理4.4若是正态,绝对可和,则由定义的平稳序列是零均值正态序列,自协方差函数同前.§1.5严平稳序列及其遍
6、历性简介概率中,随机向量联合分布函数为.定义5.1是严平稳序列:对,有与同分布.即分布平移不变.与平稳序列的关系:若严平稳序列的,则一定平稳序列.反之不然,[参考文献]对于正态时间序列:严平稳与平稳等价.因绝对时间不可重复,希望一次实现来推断.平稳序列的遍历性的基本含义:只要观测的时间充分长,它的每个现实都能“遍历”各种可能的状态,因而一个实现按时间平均可以近似地代替它在固定时刻取值的统计平均严平稳遍历序列:具有遍历性的严平稳序列.在大多数实际问题中,皆可视为具有遍历性的平稳序列,即可用代;代;代.§1.7
7、平稳序列的谱函数简介随机变量由其分布或密度惟一确定.类似地,平稳序列由其相应的谱函数惟一确定.注:谱密度不一定有.定义7.1设平稳序列有自协方差函数,(1)若有上单调不减右连续,使得则称是的谱分布函数,简称谱函数.(2)若有上的非负函数,使得则称是的谱密度函数,简称谱密度.(功率谱密度,简称功率谱)注:在信号处理中,相当于Fourrier逆变换(频率):定理7.1平稳序列的谱函数是惟一存在的.定理7.2若是,平方可和,则线性平稳序列有谱密度及,且定理7.3设和是相互正交的零均值平稳序列,定义是平稳序列,且(
8、1)(若有)(2)(若有)定理7.4设是平稳序列,有(或),,绝对可和,作,则有或者此时滤波后的平稳序列有谱密度.^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^补例,则,及.
