以小见大——例谈解析几何解题教学

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1、以小见大一一例谈解析几何解题教学摘要：解析几何在中学数学中一直是重点、难点，学生往往惧怕其两点，其一是解析几何问题如何从条件中迅速找寻突破口，将问题转化为能解决的数学语言；其二是令人望而生畏的运算.本文从一个公开课的试题出发，以小见大，探索教学中如何指导学生解决常规的解析几何问题.关键词：解析几何；探索；韦达定理；数形结合解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要思想，颇为精妙，但代数语言与几何背景的转化互译对学生的思维能力要求较高，一直以来

2、学生均视之为畏途.如何才能帮助学生探索其中的规律，学会快速找到解析几何问题的突破口，笔者也一直在探索中.近期笔者在本市一节公开课中是以以下这则教学片段进行的一次尝试，深刻地挖掘了代数几何之间在圆锥曲线中的联系，广受好评，现与读者一起分享.■教学片断例题已知抛物线C：y2=4x,以M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接RtAMAB.(1)求证：直线AB过定点;（2）过点M作AB的垂线交AB于点N,求点N的轨迹方程.教师：首先请简要分析题意及问题1.学生1：点M为RtAMAB的直角顶点，所以MA丄M

3、B,则斜率kMA,Hffi必存在且有kMA・kMB=-l.教师：很好，说明你掌握了从条件入手将几何问题代数化的思想，还有谁补充的？学生2：问题1要求证直线AB过定点，可以先求A,B两点的坐标，然后利用两点式直线方程求直线AB的方程来找定点.教师：如何求A,B两点的坐标？学生2：可以设斜率kMA=k,贝']kMB=—得MA,MB的点斜式直线方程，再联立抛物线方程即可.教师：从问题出发，基本思路已经成形，请大家动笔试算一下.（五分钟后无一人能解出定点，学生一片哗然，感叹运算能力确非一日之功）教师：那

4、么有没有别的方法来缩减计算量呢？（学生思考中）■合纵连横教师：请同学们变换角度思考，看能否找到计算相对简便的方法呢？回想，我们曾经做过一些直线过定点的问题，如：已知直线x+my+3m—1=0,求证：无论m取何值，该直线必过定点.这一题如何解？学生4：直线过定点(1,-3).教师：将此方法类比到问题1,有同学找到思路了吗？学生5：求证直线AB过定点，是不是也可以设直线AB的含参方程呢？教师：不妨一试.学生5：这里kAB有可能不存在，可以设x=my+a,m定存在，可以避免分类讨论.教师：(鼓掌)精彩

5、，你为大家展现了你的思维过程，而且分析确有依据，那么大家一起沿着这个思路来尝试解题吧.(5分钟后多数学生遇到了瓶颈)■显出原形教师：让我们互相交流看看问题所在.学生6：我的问题是，消元并提取出韦达定理，但之后就没有方向了.学生7：(踊跃举手)我之前也有这个问题，但我发现韦达定理反映的是点坐标之间的等量关系，而问题的关键条件MA丄MB借助平面向量垂直的坐标表示也正可以化为点坐标之间的等量关系，因此，我设了A,B两点的坐标为(xl,yl),(x2,y2),利用■•・=0得到了xlx2—(xl+x2)

6、+yly2-2(yl+y2)+5=0,韦达定理就可以用了.教师：很好，那么消元并提取出韦达定理的步骤你用了几次？学生7：（会意地笑了）A,B两点在抛物线C上，所以点坐标满足x=・,所以xlx2,xl+x2用yly2,yl+y2来表示,消元并提取出韦达定理的步骤只需要用一次.教师：很好……学生7：（迫不及待）但我的问题在韦达定理应用后，得到关于a,m的方程a2—6a+5—4m2—8m=0,就不知道怎么办了.（学生一片哑然，无人回答）教师：解题进行到这里，需要反思，为什么要这样做？设直线AB的含参方

7、程，通过分离参数来求定点，但由于条件所限，我们设的是“双参数方程”，无法直接进入分离系数的步骤了，但却得到了关于a,m的一个等量关系式，等价关系可以起到什么作用？学生&消元！教师：对，消元的本质是用一个变量来表示另一个变量.（环顾四周，已有学生开始演算）学生9：我把它看成a的一元二次方程，用公式法解出了a关于m的表达式a=3±2（m+1）,分别代入直线AB的方程，当a=3+2（m+1）时，得到定点坐标为（5,—2）；当a=3—2（m+1）时定点坐标为（1,2）,即点M,应该舍去，所以得证直线AE

8、必过定点（5,-2）.（教师点头赞许了生9,马上又有人举手)学生10:老师，我的方法只需要把关于a,m的方程配方为(a—3)2=4(m+1)2,就可以得到a=3±2(m+1)了.教师：很好，不论公式法还是配凑法，同学们都了解到二元等式消元的作用，它帮助我们实现了已知向未知的转变，那么我们来总结这一小题带来的收获吧.■案例启示1.因势利导自然成行学生的学习过程就像海绵吸水，一块干的海绵，要让它吸饱水分，不能将它一丢入水盆就迅速捞起，而需要等待片刻，才能看到它逐渐鼓胀.我们的教学，特别是解题教学,不