例谈解析几何综合题的解题策略

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1、例谈解析几何综合题的解题策略张益红【专题名称］高中数学教与学【专题号】G312【复印期号】2011年02期【原文出处】《中学数学教学》(合肥)2010年2期第33〜36页【作者简介】张益红，江苏省南京市雨花台中学(210012).【关键词】EEUU解析儿何综合题是高考命题的热点内容Z-O这类试题往往以解析儿何知识为载体，综合函数、不等式.三角.数列等知识，所涉及的知识点较多.对解题能力考杳的层次耍求较离.运算能力耍求强，考生在解答时，常常表现为无从下手•或者半途而废。结合多年的教学实践笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局・局部入手，整体

2、思维.以形助数。即在学握通性通法的同时.不应只形成-个一个的解题套路.解题时不加分析，跟希感觉走•做到那儿算那儿。而应当从宏观上去把握.从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关。1.判别式一一解题时时显神通案例1已知双曲线G荃-爹=1,宜线/过点4(VT,0),斜率为筑当Q

3、难想到：过点B作与1平行的直线.必与双曲线C相切。而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式△二0。由此出发.可设计如下解题思路：心=心一松）（0vy1）

4、宜ftraz的上方且3=H+屁+2-闽Ifeta（的方vnAAAtt方■JflI去A-o解题过程略。分析2如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线1的距离为相当于化归的方程有唯一解。据此设计出如下解题思路:VT问題i关于工的方程吐醫型近(0<4

5、)于是，问题即可转化为如上关于无的方程.由于Olxl>怂,从而有kx-V2+x2Al=-Ax+V2-Et2+/2~k.于是关于x的方程&)<=>-也+R=V2(/?+l)((V2+?-)2=(V2(A1+0)-VTi+^x)2IV2(^+1)-VT知怂>0,[(处_忙+2处/2(妒+1卜匹A>4(V2^r卜<=KVT纾-2=0,IV2(A2+1)-VTk+kQO,由0<^;2+2x(V^+D-V^rA>+{V2pi4)-迈■纾-2=0的二根同正，故/^耐-VTk^kx>Q恒成立，于是⑷等价于*=2

6、VT/5Q-ih+2A(V2®+1)_VTa)x+(V2(*2+l)-vT好-2=0.山如上关于X的方程仃唯一解，得其判别式△(),就可解得2.判别式与韦达定理一一二者联用显奇效案例2已知椭圆C肿+2戶8和点44,1),过P作直线交椭圆于4、B两点，在线段4B上取点0使需二-希,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的怵I扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解。因此.首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的。由于点Qd，y）的变化是由直线A

7、B的变化引起的•自然可选择直线4B的斜率k作为参数，如何将sy与£联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件:铮噬来转点共线，不难得到X-要建立z与k的关系，只需将直线的方程代入椭C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

8、将立线方程代入柄圆方程•I消去刃利用韦达定理；=/w

9、

10、利用点Q満足直线AB的方程:*>—左（工一4）+I•消去*数*瓜Q的轨迹方程

11、在得到兀*）之后，如果能够从整体上把握，认识到:所谓消参，目的不过是得到关于趴y的方程（不含約,则

12、可由尸饥-4）+1解得社牙，直接代入兀莎肋即可得到轨迹方程,从而简化消去参数的过程.简解设A则由需二一箭可得:斜解之得:*4他+珀-2^28—(兀］+场设宜线AB的方程为:尸饥—4)+1.代入椭的方程，消去y得出关于X的一元二次方程:(2P+1)xMA(l-4^)r+2(l-4^)2-8=02需尤氐2二2(1-卅-82A2+1代入⑴，化简得曲鬻⑶与y=k(咒-4)+1联立■消去£得：(2%+y-4)(x-4)=0.在⑵中，由△=-64/+64£+24>0，解得2-vto24-vnr44结合⑶可求得.16-2严Y<1鱼守理故知点Q的轨迹方程为：2

13、x+y-4=0z16-2V1T“,16+2V10、(—g*—9—)•3•求根公式一一呼之欲出亦显灵案例3设直线/过点P(0,3)和椭圆各+扌“顺次交于