例谈几何型综合题的解题策略

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1、例谈几何型综合题的解题策略上海市光明初级中学彭拥军几何型综合题常以动态几何知识为背景，以考察数学知识、数学思想的综合运用能力为目标，所涉及的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等。近年来，它常作为中考的压轴题出现。例题：（2007年上海中考25题）已知：∠MAN＝，点B是射线AM上的一点，AB＝4(如图).P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B、P、Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心.(1)当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；(2)当点P在射线

2、AN上运动（点P与A不重合）时，AO与BP交于C，设AP＝x，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)若点D是射线AN上，AD＝2时，⊙I是△ABD的内切圆，当△BPQ的边BP或BQ与⊙I相切时，请直接写出点A到点O的距离.分析：这类试题一般有三个小题，第一小题研究几何背景，为论证或计算；第二小题研究运动中图形的数量关系，建立函数关系；第三小题研究图形不确定性带来的分类讨论。我们一般可以采用化整为零、建立方程、分类讨论三个步骤，从复杂的背景中提取解题所需信息，使问题逐步解决。一、化整为零要

3、证AO平分∠MAN，只要证明O到AM、AN的距离相等，故作OG⊥AM于G，OH⊥AN于H，故∠GOH＝120°。因此只要连结BO、PO，证∠BOP＝120°，把问题转化为研究等边三角形外心的性质。这样，一个复杂的问题经过分拆，转化成我们熟悉的基本问题，从而寻找到解题的途经。解：连BO、PO，∵O是等边△BPQ的外心∴BO=PO，∠BOP＝120°作OG⊥AM于G，OH⊥AN于H，故∠GOH＝120°∴∠BOG＝∠POH可证△BOG≌△POH，∴OG＝OH∴O在∠MAN的平分线上一、建立方程建立几何图形

4、间的数量关系，特别是动态几何图形间的数量关系，是这类试题的考察重点，函数关系式的建立实际上是探求两个变量y与x之间未知函数类型的函数问题，如果我们把函数理解为关于x、y的二元方程，不管是何种类型函数，都可以通过寻找y与x之间的等量关系，建立方程来解决。而建立等量关系常见的途经有：比例线段、勾股定理、等积原理、线段和差等等。本题要建立（）与x（AP）之间的函数关系，就是建立y与x之间的方程，所涉及的线段有AC、AO、AP三条，因此常要寻找第四条线段，根据题意只有AB＝4是已知线段，故可以优先考虑，因此只

5、要证△ABO∽△ACP.解：∵∠BAO=∠OBP=30°，∴∠ACP=∠ABC+∠BAC=∠ABC+∠OBC=∠ABO又∠BAO=∠CAP∴△ABO∽△ACP∴故y＝4x（x>0）二、分类讨论分类讨论是这类试题的重点内容之一，不仅考察数学知识的把握能力，还考察动态图形的认知能力，对同学来说，是难点之一。不过，分类讨论也是有规律可循，比如这类试题所涉及的分类讨论知识主要是等腰三角形的底边不确定、直角三角形的直角不确定、图形的位置不确定（最常见是直线、射线与线段变化引起的）、相似三角形的对应边不确定等等。

6、在分类讨论时首先要注意分类标准统一，其次要做到不重不漏。本题的第一小题、第二小题考察点P在射线AN上的运动，而第三小题则考察P在直线AN上的运动，由此带来分类讨论。解：AB=4，AD=2，∠MAN＝60°，可得∠BDA=90°1、当BP与⊙I相切时，（1）当P与D重合时(如图1)，AO=（2）当P与A重合时(如图2)，AO=2、当BQ与⊙I相切时（如图3），AO=0几何型综合题不管试题如何变化，都是以日常学习中的基本知识为背景，或让几个背景叠加，或让静态的几何关系运动起来，在运动中探求图形不变的位置或

7、数量关系。因此，这类问题的解决是以具有扎实的基本功为前提的，因此只要平时注重基本知识、基本图形的积累与总结，再合理运用解题策略，就可以达到事半功倍的效果。附习题：1．(2002年上海中考)操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图1（备用图）（备用图）　　探究：设A、P两点间的距离为x．　　（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到

8、结论；　　（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；　　（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．　　2、（2005年上海中考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，