例谈数学解题教学“三步曲”

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1、样刊请快递至：（226200）江苏省启东市江海中学，朱海东，收件电话：18362125868。例谈数学解题教学“三步曲”江苏省启东市江海中学朱海东解题教学作为高中数学课堂教学中的一个重要组成部分，它一方面可以有效地提高学生解决问题的能力，另一方面还可以促进学生对己学过的基本知识、相关概念和运算规则的理解，对学生学好数学有着积极的意义。但纵观当前数学解题教学，存在严重的“实用性”和“功利性”倾向，解题教学直接以应试为核心目标，直接指向试题，而不是指向学生数学认知水平的发展。其后果是：期望用大量的题目覆盖试题，强化学生的记忆，希望学生在考试中能

2、直接提取解题经验而不是进行有条理的数学思考。于是，教师有讲不完的题目，讲了还是有学生理解不了的；学生有做不完的题目，做了还是无法掌握的，解题教学陷入了“低效、重复、枯燥”的怪圈。因此，如何摆脱“题海战术”，提高解题教学的有效性值得我们每一位教师思考。下面笔者就结合具体的例题，谈谈解题教学的“三步曲”。1第一步：用学生能想到的方法解题在数学解题教学中，多数教师喜欢把自认为“好的方法”、“成熟的模式”强行灌输给学生，希望学生少走“弯路”，尽快的掌握解题技巧和方法。其实，这样的做法是有问题的。关于解决问题的心理学见解，行为主义心理学派倾向于用尝试

3、错误来解释问题的解决，认知心理学派则倾向于用“顿悟”来解释问题的解决，对于数学解题学习的这两种基本认识观，无论是“尝试错误式”解题，还是“顿悟式”解题，都必然要与学习者已有的解题经验相联系，学习者在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础。学生不可能靠教师“灌输”所谓的“先进方法”，然后进行积极的“同化”就可以获得解题能力的提升。因此，解题教学首先应该立足学生已有的解题经验，用学生能想到的方法解题。图1问题：已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为___________。画出相关的图形，设M是AB的中点，

4、如图1所示。学生的解题过程：因为，，所以。设，由得，则。设直线AB方程为，则，则；由得。所以，即。上述解法看上去比较繁琐，对于一道填空题而言有点“小题大做”了。但教师在解题教学中不应对这种解法抱有“偏见”，因为这恰恰是学生真实思维水平的体现。其实，解题的真正价值不是解法的本身，而是透过解题过程暴露学生的思维，为后续的解题教学提供有价值的线索。2第二步：优化学生的解题思想方法解题教学的真正意义在于教会学生如何在新旧解题经验之间建构起非人为和实质性的联系。这种非人为和实质性联系是学生在解题过程中独立感悟出来的，是学生在长期的亲身实践中积极探索逐

5、步积累而获得的。因此，在学生展示解法后，教师要做的就是在学生原有的认知基础上对解题方法进行优化和改进，揭示问题的实质，从而促进认知的同化。以上述问题为例，解题的关键是求。学生的解题方向是利用圆锥曲线中弦长公式（）进行求解。此公式涉及的参数较多，运算量也相对较大。因此，要优化学生的解题过程就先从优化的公式开始。优化1：利用公式由于直线AB过焦点，，则。因此只需求出即可。当然，后续的解法和学生的方法类似，无非是在把直线方程和抛物线方程联立时，需要得到的是关于x的特征方程。图2优化后的方法和学生原先方法比较，在运算上虽有所简化，但区别不是很大。两

6、种方法都需要求直线AB的斜率，作为一个中间量，对题目结果不产生直接影响。若能简化的方法或者避免求，那在解题方法上才称得上真正的“优化”。优化2：简化直线斜率的求法过A、B两点分别作x轴上的垂线，垂足分别为，如图2所示。设直线的倾斜角为，则，而，所以，则，同理。由得，所以，即。下面解法和上述解法相同。优化3：避免求直线斜率因为，所以，即，把它和上述联立可以求得，所以，即。上述两种方法很好的利用了图形中线段的比例关系，把线段的长度比转化为坐标比。适当地利用几何关系，能够起到化繁为简的效果。3第三步：回顾各种方法之间的联系通过层层递进式的优化设计

7、，使学生认识到了各种解法的优劣，但解题教学并不单纯是为了求得问题的结果和罗列尽可能多的方法，其核心教育价值是巩固和深化知识的理解，感悟数学思想方法，发展数学认知水平。而要实现这一目的需要通过解题回顾来获得。那么，解题回顾主要回顾什么呢？应该回顾各种解题方法的来龙去脉，探索它们之间的联系，比如，这种解法是如何想到的？一般这类题可以采取怎样的方法等，从而实现解一题，会一片，通一类的效果。下面是上述这道题目的解题思路分析图，如图3所示。图3解题回顾不仅帮助学生回顾有关知识，解题方法以及理解题意的过程，而且可以总结出有益的经验，这些经验有的是解题的

8、策略，有的是解题的元认知知识，将他们运用到新的问题中去，将成为解题时联想的基础，行动的指南。解题回顾就是磨砺解题武器的过程，它所起到的举一反三的作用，胜过做十道题。上述解题教学的