硕士生《数理统计》例题及答案

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1、《数理统计》例题1.设总体X的概率密度函数为：试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数。解：（1）矩法由于EX为0，令得：（2）极大似然法令得202.设总体X的概率密度函数为：其中>0，现从总体X中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数。解：（1）矩法经统计得：令即故（2）极大似然法因为lnL是L的增函数，又所以20令得3.已知总体的分布密度函数为：（1）用矩法估计其未知参数；（2）用极大似然法估计其未知参数。解：（

2、1）令得：（2），故L的单调性与无关又可以取中的任何值。4.10个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下表：甲1.41.83.00.12.21.52.00.30.51.9乙1.90.83.0-0.53.02.5-0.52.52.02.5假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布和，试求的置信下限（）。解：依题意设经计算得：先做方差齐性检验：20查表得：因为所以接受，即认为两个总体的方差相等。的置信下限为即-0.9004其中，，5.设样本来自正态总体，样本均值为，样本来自正态总体，样本均值为，且两

3、样本相互独立。、为未知参数。（1）已知，，样本容量n=25，求的置信水平为0.95的置信区间；（2）如果要求的置信水平为0.95的置信区间长度不超过2，问样本容量n至少应取多少？解：，故所以，（1），即（-0.272，5.272）。20（2）依题意，有2≤2，即≤1，即n≥1.962×50所以，n≥192.08或n≥193。6.设总体为其样本。（1）证明：对一切都是的无偏估计量；（2）试求的一个无偏估计量。（1）证：因为，所以所以对一切都是的无偏估计量。（2）解：因为所以故是的一个无偏估计量。7.设总体服从上的均匀分布，未知，()是来自此总

4、体的一个样本，已知，。（1）试计算、的数学期望；（2）试分别利用、构造的无偏估计量；（3）试比较（2）中的两个无偏估计量的有效性。解：（1）X的概率密度函数为：因此的概率密度函数为：20的概率密度函数为：所以，（2）由（1）可知，，都是的无偏估计量。（3）20因此，两个估计量的有效性一样。8.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.1，

5、15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（）。解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布，保养后生产的滚珠直径服从正态分布。问题归结为检验假设经统计得：，，查表得：因为所以拒绝，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。9.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：甲厂：乙厂：。20设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量

6、的平均值可否看作一样（=0.05）？解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从问题归结为检验假设；因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设；用F检验法，的接受域为：（因为）现在，查表得：因为0.817>0.2208，所以接受，即认为方差相等。在的情况下，再用T检验法检验，，计算得：，查表得：因为，所以接受，即可以认为两个分厂铸铁的含碳量的平均值一样。10.设有一大批产品，产品质量指标。以小者为佳，厂方要求所确定的验收方案对高质量的产品（）能以高概率为买方所接受。买方则要求低质产品（）能以高概率20被拒绝。由厂方和买方协商给出。并采取

7、一次抽样以确定该批产品是否为买方所接受。问应如何安排抽样方案。已知，，且由工厂长期经验知。又经双方商定，均取值为0.05。解：此问题可以归结为检验且要求当时能以的概率拒绝。此问题的拒绝域为：现要求当时，因为是的减函数，故只需即可，此时有按照给定的数据计算得，故取n=25且当满足时，即当时买方就拒绝这批产品，而当时买方就接受这批产品。11.某中药厂从某种药材中提取一种有效成分，为了进一步提高获得率，改进了提取方法，现在对同一质量的药材，用旧法和新法各做了10次试验，得到的获得率数据如下表：旧法75.577.376.278.176.378.47

8、7.478.476.778.0新法77.379.179.181.080.279.182.180.077.379.1假设提取药材的获得率都服从正态分布，问新法的获得率是否比旧法的获