应用数理统计典型课件中例题

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时间:2019-09-07

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1、10.p分位数对于给定的p(0

2、X)=/,D(X)=/2,E(Xk)=(+k)/[k()];可加性:关于参数可加,即Gamma分布也可以=1/为分布参数,这时对应的概率密度为11.Beta分布来定义.其中Beta函数B(a,b)通过积分(1)定义:具有下列概率密度的随机变量称为服从Beta分布,记为X~(a,b)(2)性质(1,1)即为是(0,1)上的均匀分布若X~(a,b),则二项分布的分布函数可用Beta分布的分布函数表示令B(x,n,p)表示二项分布B(n,p)的分布函数Ix(a,b)表示(a,b)的分

3、布函数,则有B(x,n,p)=1-Ip([x]+1,n-[x])2.几个常见统计量2.1样本矩样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本均方差定理:设总体X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,X2,…,Xn是来自总体的样本,则有证明:设总体X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,X2,…,Xn是来自总体的样本,要证:所以因为例4设某型号电子元件的寿命X服从参数为的指数分布,X1,…,Xn是对X进行n次独立观测的寿命。求n次观测中(1)最大寿命小于b的概率;(2)最小寿命大

4、于a的概率。(a>0,b>0)解:由于所以,最大次序统计量X(n)的分布函数为于是例4设某型号电子元件的寿命X服从参数为的指数分布,X1,…,Xn是对X进行n次独立观测的寿命。求n次观测中(1)最大寿命小于b的概率;(2)最小寿命大于a的概率。(a>0,b>0)解:由于所以,最小次序统计量X(1)的分布函数为于是例5设X1,X2,…,Xn是取自[0,1]上均匀分布的样本,求第k个次序统计量X(k)的数学期望。解:由于由定理知,X(k)的概率密度为于是有解:由矩法,令从中解得即为的矩估计.例1设总体X的概率

5、密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.例2设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,求总体均值与方差2的矩估计令解:得与方差2的矩估计为例4一罐中装有白球和黑球,有放回地抽取n次,发现有k个白球,求罐中黑球与白球之比R的矩估计.解:设则X1,X2,…,Xn是取自总体X~B(1,p)的样本,p是每次抽取时取到白球的概率,p未知.先求p的矩估计:由于E(X)=p,令得p的矩估计值为的矩估计值是所以解:设每次抽样结果用Xi表示,则而且X1,X2,…,Xn~B(1,p

6、)。由于例5设一批产品的废品率为p(0

7、1100例6设某电子管的使用寿命X(单位:小时)服从指数分布,其概率密度为求的最大似然估计.其中>0,解:设x1,…,x18为18个样本观测值,依题意,似然函数为对数似然函数为求导并令其为0从中解得即为的MLE.将本题中的样本值代入,得的最大似然估计值为例7设X1,X2,…,Xn是取自总体X~U(a,b)的一个样本,求参数a,b的极大似然估计.L(a,b)=f(x1,x2,…xn;a,b)解:总体X的概率密度为所以似然函数为:L(a,b)即似然函数在a=x(1),b=x(n)时取到最大值,所以a,b的

8、最大似然估计为由于L(a,b)其中例9设一批机器零件的寿命X服从weibul分布,其概率密度函数为其中>0,>0为未知参数,令=(,)。从这批零件中随机抽取n个作寿命试验,获得它们的寿命分别为x1,…,xn.求=(,)的极大似然估计。解:基于观测结果x1,…,xn,似然函数为于是对数似然函数为记一阶偏导数向量为g=(g1,g2)T,则似然方程组为该方程组没有解析解,用N-R算法来求方

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