高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明创新应用学案 新人教a版选修1-2

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1、第1课时　综合法和分析法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P36～P41的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P36“已知a，b>0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc”的证明过程，思考下列问题：①该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a，b>0；结论：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a，b>0出发，借助基本不等式证明待证结论的．(2)阅读教材中证明基本不等式“≥(a>0，b>0

2、)”的过程，回答下列问题：①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的．②该证明过程是综合法吗？提示：不是．③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件．2．归纳总结，核心必记(1)综合法①综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②综合法的框图表示→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)(2)分析法①分析法的定义非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是

3、对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法．②分析法的框图表示→→→…→[问题思考](1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知

4、条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(3)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.∴－1＝＞0，－1＝＞0，－1＝＞0，∴＝··≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法．[课前反思](1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？　；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？　　.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行

5、职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。　讲一讲1．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[尝试解答]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a

6、＋b＋c.所以＋＋≥1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解

7、题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．练一练1．已知x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥.证明：∵x＋y＋z＝m，∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．∴x2＋y2＋z2≥.[思考1]　分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未

8、知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．[思考2]　分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是：“要证……，只需证……，只需证……，…由于…显然成立(