高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 直接证明与间接证明 反证法导学案 新人教A版选修.doc

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1、直接证明与间接证明反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．1.教学重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．2.教学难点：应用反证法解决问题．方法：合作探究思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？一新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__________，因此说明假设__________，从而证明了

2、原命题__________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与__________________、事实矛盾等．4．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多

3、种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)________以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．牛刀小试1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根课堂随笔:B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至

4、多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2．设a、b、c都是正数，则三个数a＋、b＋、c＋(　　)A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于23．应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②　　　　　　B．①②④C．①②③D．②③4.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．二．例题分析例1求证：若两条平行

5、直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．例2设a、b、c都是小于1的正数，求证(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a三个数不可能同时大于.例3求证：方程2x＝3有且只有一个根．例4已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．二．作业一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　)A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角2．实数a、b、c不全为0等价于(　　)A．a、b、c均不

6、为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为03．如果两个数之和为正数，则这两个数(　　)A．一个是正数，一个是负数B．都是正数C．不可能有负数D．至少有一个是正数4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C．＋＋≥2D．abc(a＋b＋c)≤5．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设(　　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°

7、C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)A．a＋>b＋B．>C．a＋>b＋D．>二、填空题7．“x＝0且y＝0”的否定形式为________.8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________.9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是___

8、_____.三、解答题10．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．后记与感悟:答案例1[解析]　不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也