习题课直线与双曲线

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1、习题课　直线与双曲线一、基础过关1．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于(　　)A．1B．－1C．±1D．±22．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，

2、AB

3、为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)A.B.C．2D．33．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与椭圆＋＝1(a>b>0)交于点M、N，则

4、MN

5、等于(　　)A．a＋bB.aC.D.4．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx

6、2＋my2＝mn所表示的曲线可能是(　　)5．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，则此双曲线方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝16．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．7．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则

7、MF2

8、＋

9、NF2

10、－

11、MN

12、的值为______．二、能力提升8．双曲线x2－y2＝1左支上一点P

13、(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b＝________.9．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．10．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．11．过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且

14、AB

15、＝

16、BC

17、，求双曲线M的离心率．12．设A、B分别是双曲线－＝1(

18、a，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于D、E两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得＋＝m，求m的值及点C的坐标．三、探究与拓展13．已知双曲线方程为2x2－y2＝2.过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案1．C　2.B　3.C　4.C　5．D　6.7．8　8.－9.10．解　双曲线方程可化为－＝1，c2＝a2＋b2＝4，∴

19、c＝2.∴F2(2,0)，又l的斜率为1.∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0，∴A、B两点不位于双曲线的同一支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，∴

20、AB

21、＝

22、x1－x2

23、＝＝·＝6.11．解　∵双曲线M为x2－＝1，∴左顶点A的坐标为(－1,0)，两条渐近线为y＝±bx.又∵直线l的斜率为1，∴l的方程为y＝x＋1.从而可求得直线l：y＝x＋1与渐近线y＝bx的交点为C，AC的中点为，且在渐近线y＝－bx上，则＝－b·，得b

24、＝3，c＝＝，e＝＝.∴双曲线的离心率为.12．解　(1)由双曲线的实轴长为4，得a＝2.双曲线右焦点的坐标为(c,0)，一条渐近线为y＝x，由点到直线的距离公式，得b＝.∴双曲线的方程为－＝1.(2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x0，y0)．将直线y＝x－2代入双曲线方程，化简得x2－16x＋84＝0，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.∵＋＝m，∴x0＝＝，y0＝＝.将点C的坐标代入双曲线的方程2－4×2＝12，解得m＝±4.当m＝－4时，点C在已知双曲线的左支上，不符合题意，舍去．∴m＝4，点C的坐

25、标为(4，3)．13．解　假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有＝1，＝1.∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且两式相减，得(2x－2x)－(y－y)＝0，∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.若直线Q1Q2⊥Ox，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1,1)，所以直线Q1Q2有斜率，于是k＝＝2.∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由得2x2－(2x－1)2＝2，即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－

26、24<0.这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．