自主探究中深化 合作交流中升华

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1、自主探究中深化合作交流中升华　　〔关键词〕数学教学；合作学习；探究　　〔中图分类号〕G633.6〔文献标识码〕C　　〔文章编号〕1004―0463（2012）23―0040―02　　一、案例背景　　函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学数学学习始终；函数历来是高考数学中的重点考查内容，而函数的性质及其应用又是函数中最重要的内容.因此，让学生对函数的有关性质做到准确、深刻的理解，并能正确、灵活地加以运用至关重要.　　二、设计思想　　这是高三的一节复习课，教

2、学时，既要考虑对学生能力的培养，同时又要重视基本方法的归纳、总结.　　1.本节课以自主探究、合作交流为主要形式展开教学活动.首先通过复习函数的性质导入，训练学生对文字语言、符号语言和图形语言之间的相互转换能力.　　2.例1的设计意图是：让学生加深对函数概念、性质的理解.通过阅读，理解数学语言、符号，学会文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化.通过一题多解、一题多思，渗透化归、转化和数形结合的思想以及代数变换的方法，培养学生的思维能力.6　　3.例2的设计意图是：让学生先独立思考，探求多种解法，然

3、后组织学生合作学习，进而提高学生综合运用函数的性质解题的能力.　　三、课堂实录　　师：前面我们已经学习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性，今天我们来综合运用这些性质，请回答以下问题：　　1.函数y=f（x）是奇函数，用数学符号如何表示？函数的图象有何特点？（略）　　2.画出一个关于x=1对称的函数图象，用文字语言如何表达？用符号语言如何表述？（略）　　3.给出f（x+2）=f（x），用文字如何表达？函数的图象具有什么特征？能悟出什么？（略）　　4.f（x+2）=-f（x），又能悟出什么？　　生：

4、∵f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），∴y=　　f（x）以4为周期.　　例1设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（7.5）的值.　　教师先让学生思考，然后组织学生分组交流讨论.教师巡视活动情况，并及时对学生进行指导.　　师：现在请各组选一名代表将你们组归纳的信息告诉大家.　　生1：利用周期性，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=　　f（x），∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5.　

5、　师：回答得很好！对所给的符号语言理解得很正确.6　　生2：直接利用f（x+2）=-f（x），f（7.5）=f（5.5+2）=　　-f（5.5）=-[-f（3.5）]=f（3.5）=-f（1.5）=f（-0.5）=-0.5.　　师：两个同学都说得很好！这种方法利用已知条件，把f（x+2）=-f（x）看成关系式，通过对x赋值进行代数变换，得出结论.还有其他方法吗？f（x）是奇函数且　　f（x+2）=-f（x），除了能说出周期T=4之外，还能得到什么？　　生3：f（x+2）=-f（x），而f（x+2）=

6、f（-x），因此得到　　f（x）关于直线x=1对称.　　师：很好！你能否根据函数的性质画出它的图象，再利用图象来解题？　　学生思考后，教师引导学生一起画出y=f（x）的图象，并让学生借助图象寻求解题方法.　　生4：从下图中可看出f（7.5）=f（-0.5）=-0.5.　　师：在解题的过程中，我们应善于利用数形结合的思想方法，借助数→形→数之间的相互转化来解题，会收到意想不到的效果.　　例2定义在R上的偶函数y=f（x）满足关系f（x+2）=-f（x），且f（x）在区间[-2，0]上是增函数，则有如下

7、结论：　　1.y=f（x）是周期函数；　　2.y=f（x）的图象关于直线x=2对称；　　3.y=f（x）在区间[2，4]上是增函数；　　4.f（2-x）=f（2+x）.　　让学生先思考，可以互相讨论，再组织学生分别回答，并说明理由.　　生1：∵f（x+4）=f（x+2+2）=f（x），∴6f（x）是周期函数，周期T=4；　　师：要证明直线x=2是y=f（x）图象的对称轴，只需证明什么关系式成立即可？　　生2：只需证f（2-x）=f（2+x）或证f（-x）=f（4+x）或证f（x）=f（4-x）.　　

8、师：那我们选择证第三个等式f（x）=f（4-x）成立.　　生3：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函数，∴f（4-x）=f（-x）=f（x），即f（x）=f（4-x），∴y=f（x）图象的对称轴为x=2.　　生4：由于y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，那么在[0，2]上y=f（x）是减函数.又由于y=f（x）图象关于直线x=2对称，所以y=f（x）在区间[2，4]上是增函数.　　生5：第四小问与第二小问证法相同.　　师：回答得太棒了！对于例1我们将问题变式