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《高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用同步练习 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.下列命题:①一个函数的极大值总比极小值大;②可导函数导数为0的点不一定是极值点;③一个函数的极大值可以比最大值大;④一个函数的极值点可在其不可导点处达到.其中正确命题的序号是()A.①④B.②④C.①②D.③④答案:B思路分析:一个函数的极值有可能有多个,极大值不一定大于极小值,但函数存在最大值和最小值时,最大值一定大于或等于极大值.2.函数f(x)=x3-3x(
2、x
3、＜1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无
4、最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值答案:C思路分析:f′(x)=3x2-3,∵
5、x
6、＜1,∴f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值也无最小值.3.函数f(x)=x2-4x+1在［1,5］上的最大值和最小值是()A.f(1),f(3)B.f(3),f(5)C.f(1),f(5)D.f(5),f(2)答案:D思路分析:f′(x)=2x-4=0,x=2.当x＜2时,f′(x)＜0;当x＞2时,f′(x)＞0.∴x=2时,函数取得极小值f(2)=-3,而x∈［1,5］,f(1)=-2,f(5)=6,∴函数的
7、最大值为f(5),最小值为f(2).4.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2答案:C思路分析:设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin60°·l,∴l=.∴S表=2S底+3S侧=x2·sin60°+3·x·l=x2+.∴S′=x-=0.∴x3=4V,即x=.又当x∈(0,)时,S′＜0,x∈(,V)时,S′＞0,∴当x=时,表面积最小.5.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为()A.10B.15C.25D.50答案:C思路分析:如图,设∠NOB=θ,则
8、矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ,故Smax=25.6.给出下面四个命题:①函数y=x2-5x+4,x∈［-1,1］的最大值为10,最小值为；②函数y=2x2-4x+1(2＜x＜4)的最大值为17,最小值为1；③函数y=x3-12x(-3＜x＜3)的最大值为16,最小值为-16；④函数y=x3-12x(-2＜x＜2)无最大值,也无最小值.其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C思路分析:①③④正确.7.函数y=4x2(x-2)在x∈［-2,2］上的最小值为______
9、______,最大值为_______________.答案:-640思路分析:y′=12x2-16x=0,∴x=0或x=,∴f(0)=0,f(-2)=-64,f(2)=0,f()=.8.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为____________时它的面积最大.答案:R思路分析:如图,设∠OBC=θ,则0＜θ＜,OD=Rsinθ,BD=Rcosθ.∴S△ABC=Rcosθ(R+Rsinθ)=R2cosθ+R2sinθcosθ.∴S′(θ)=-R2sinθ+R2(cos2θ-sin2θ)=0.∴cos2θ=sinθ.∴θ=
10、,即当θ=时,△ABC的面积最大,即高为OA+OD=R+=时面积最大.综合应用9.已知函数f(x)=,x∈［1,+∞］.(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对于任意x∈［1,+∞］,f(x)＞0恒成立,试求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,f(x)==+2,x∈［1,+∞).由f′(x)=1-,当x∈［1,+∞)时,f′(x)＞0,∴函数f(x)是增函数.∴当x=1时,f(x)取最小值为.(2)对任意x∈［1,+∞］,f(x)＞0恒成立,即＞0对任意x∈［1,+∞］恒成立,∴x2+2x+a＞0对任意x∈［1,+∞)恒
11、成立.设g(x)=x2+2x+a,则g′(x)=2x+2.当x∈［1,+∞)时,g′(x)＞0,∴函数g(x)是增函数.∴当x=1时,g(x)取得最小值3+a,由题意3+a＞0,∴a＞-3.思路分析:(1)按照求函数最值的方法步骤求出最值.(2)将恒成立问题转化成为利用函数的单调性求函数最值的问题.10.某工地备有直径为R的圆柱形木料(足够长),若所需的是横断面为矩形的承重木梁,且已知木梁的承重强度(p)与梁宽及梁高的平方的乘积成正比,问如何截可使截得的木梁的承重强度最大?解:设木梁的横断面的宽为x,高为y,则x2+y2=R2.由已
12、知,设p=kxy2(k为常数),因此,p=kx(R2-x2)=kR2x-kx3(0＜x＜R).∵p′=kR2-3kx2,令p′=0,得x=R.由于函数在区间(0,R)内只有一个极值点,因此,当x=R,即木梁横断面宽为R,高为R时,木梁
