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《高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用例题与探究 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具.基本思路:建立数学模型.2.最值和极值的区别与联系(1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念;(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一;(3)极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值;极值有可能成为最
2、值,最值只要不在端点处必定是极值.3.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值的步骤可按以下步骤:(1)求出二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数f′(x)=2ax+b;(2)讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是否有极值点,即方程f′(x)=0的根x=是否在区间(m,n)内,确定二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值:①若方程f′(x)=0的根x=在区间(m,n)内,即m＜＜n,此时f()必为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区
3、间(m,n)内的最大值或最小值,再求出f(m),f(n)的值,f(),f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值;②若方程f′(x)=0的根x=不在区间(m,n)内,即m≥或n≤时,此时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是单调函数,只需求出f(m),f(n)的值,f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值.高手支招4典例精析【例1】当x∈(1,2)时,函数f(x)=恒大于正数a,试求函
4、数y=lg(a2-a+3)的最小值.思路分析:欲求y=lg(a2-a+3)的最小值,则应知a2-a+3的最小值,于是必须确定a的取值范围,即必须先求函数f(x)=的最小值.解:y′=()′=,当x∈(1,2)时,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上单调递减,于是f(x)min=f(2)=.由题意知a的取值范围是a＜.∴y=lg(a2-a+3)=lg［(a)2+］,故当a=时,ymin=lg.【例2】已知A、B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,
5、当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.解:设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k＞0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1·,∴y′=.令y′=0,∴v=16.∴当v≥16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省;当v＜16且实际速度∈(8,v］时,y′＜0,即y在(8,v］上为减函数,∴当实际速度为v＜16时,ymin=.综上,当v≥16时,实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省,
6、为32000元;当v＜16时,则实际速度为v时,全程燃料费最省,为.【例3】(2006福建高考，文21)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.解:(1)∵
7、f(x)是二次函数,且f(x)＜0的解集是(0,5),∴不妨设f(x)=ax(x-5)(a＞0).f(x)的对称轴为x=2.5,经比较可知,-1和4当中-1离2.5较远，∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值12在x=-1处取得,f(-1)=6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R)。(2)由f(x)+=0,即2x2-10x+=0,即2x3-10x2+37=0(x≠0).令h(x)=2x3-10x2+37,则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10),当x∈(,+∞)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数,当x∈(0,)时,h′
8、(x)＜0,h(x)是减
