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《高中数学 第三章 导数应用 1_1 导数与函数的单调性例题与探究 北师大版选修2-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第三章导数应用1.1导数与函数的单调性例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.函数的导数与函数增减的速度之间的关系递增函数就是函数值随自变量的增大而增大,一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;递减函数就是函数值随自变量的增大而减小,一个函数减小得快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小越多,即平均变化率大,导数的绝对值也就大,从而导数的绝对值越大,函数增减的速度就越快.2.导数与函数的单调性的关系(1)f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系.
2、f′(x)＞0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f′(x)≠0时,f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系.若将f′(x)=0的根作为分界点,因为规定f′(x)≠0,即去掉了分界点,此时f(x)为增函数,就一定有f′(x)＞0.∴当f′(x)≠0时,f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件.(3)f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系.f(x)为增函数,一定可以推出f′(x)≥0,但反之不
3、一定,因为f′(x)≥0,即为f′(x)＞0或f′(x)=0.当函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数,函数不具有单调性.∴f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.高手支招4典例精析【例1】(2006高考全国Ⅰ，理21)已知函数f(x)=.(1)设a＞0,讨论y=f(x)的单调性;(2)若对任意x∈(0,1),恒有f(x)＞1,求a的取值范围.思路分析:(1)先找出使函数f(x)=有意义的区间,然后求出函数f(x)的导数f′(x),最后根据f′(x)分区间讨论函数f(x)的单调性.(2)若要求出
4、对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1时的a的取值范围,只需要利用函数的单调性在不同的a的取值范围内分别讨论即可.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f′(x)=.当a=2时,f′(x)=,f′(x)在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数.当0＜a＜2时,f′(x)＞0,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数.当a＞2时,0＜＜1,令f′(x)=0,解得x1=,x2=.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:
5、x(-∞,)(,)(,1)(1,+∞)f′(x)+-++f(x)↗↘↗↗f(x)在(-∞,),(,1),(1,+∞)上为增函数,f(x)在(,)上为减函数.(2)当0＜a≤2时,由(1)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞f(0)=1.当a＞2时,取x0=∈(0,1),则由(1)知:f(x0)＜f(0)=1,当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有＞1且e-ax≥1,得f(x)=e-ax≥＞1.综上所述,当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1.【例2】设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(
6、a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围.思路分析:先求出与函数f(x)对应的一元二次方程的判别式Δ,然后分Δ=0、Δ＜0、Δ＞0三种情况分别进行讨论.解:f′(x)=3x2-2ax+(a2-1),其对应方程的判别式Δ=4a2-12a2+12=12-8a2.(1)若Δ=12-8a2=0,即a=±,当x∈(-∞,)或x∈(,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=±满足要求.(2)若Δ=12-8a2＜0,恒有f′(x)＞0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,所以a
7、2＞,即a∈(-∞,)∪(,+∞)也满足要求.(3)若Δ=12-8a2＞0,即＜a＜,令f′(x)=0,解得x1=,x2=.当x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a＜.由x2≤1得≤3-a,解得＜a＜,从而a∈[1,).综上,a的取值范围为(-∞,]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,]∪[1,∞).【例3】当x∈(0,)时,证明：tanx＞x.思路分析:首先构造函数
8、f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0,)上的单调性.证明:设f(x)=tanx-x,x∈(0,).∴f′(x)==tan2x＞0.∴f(x)在(0,)上为增函数.又∵f′(0)=0且f(0)=0,∴当x∈(0,)时,f(x)＞f(0)恒成立,即tanx-x＞0.∴tanx＞x.【例4】(2006高考全国Ⅱ，理20)设函数
