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《高中数学 第三章 导数应用 1_2 函数的极值例题与探究 北师大版选修2-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第三章导数应用1.2函数的极值例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.理解函数极大值与极小值时要注意的问题在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.要注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较大小.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
2、2.关于函数极值的必要条件的证明设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则一定有f′(x0)=0.证明:设f(x0)为极大值,根据极值的定义,在x0的附近,对于任何点x,f(x)＜f(x0)总成立,从而无论Δx=x-x0≥0还是Δx=x-x0≤0,总有f(x0+Δx)-f(x0)≤0,由已知f′(x0)存在,于是有:当x＞x0,即Δx＞0时,f′(x0)=≤0;当x＜x0,即Δx＜0时,f′(x0)=≥0;故f′(x0)=0.高手支招4典例精析【例1】(2006天津高考,理9)函数f(x)的定义域为开区间(a,b
3、),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个思路分析:函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值由负到正的点,只有1个.答案:A【例2】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.思路分析:由求函数的极值的方法先求其导数,解方程f′(x)=0,分区间讨论f′(x)的符号,进而得函数f(x)的极值.解:f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3,
4、∴x＜-1时,f′(x)＞0,函数f(x)递增;-1＜x＜3时,f′(x)＜0,函数f(x)递减;x＞3时,f′(x)＞0,函数f(x)递增.∴f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22.【例3】(2006湖北高考,理21)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;(2)设a＞0,g(x)=(a2+)ex.若存在ξ1,ξ2∈［0,4］,使得
5、f(ξ1)-g(ξ2)
6、＜1成立,求a的取值范围.思路分析:本题
7、主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解题时要抓住“x=3是函数的一个极值点”这一重要条件,以此为突破口,求出a与b的关系式.解:(1)f′(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,由f′(3)=0,得-[32+3(a-2)+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,则f′(x)=-[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.令f′(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,所以
8、f′(x)要变号,∴x1≠x2,∴a≠-4.当a＜-4时,x2＞3=x1,则在区间(-∞,3)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数;在区间(3,-a-1)上,f′(x)＞0,f(x)为增函数;在区间(-a-1,+∞)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数.当a＞-4时,x2＜3=x1,则在区间(-∞,-a-1)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数;在区间(-a-1,3)上,f′(x)＞0,f(x)为增函数;在区间(3,+∞)上,f′(x)＜0,f(x)为减函数.(2)由(1)知,当a＞0时,f(x)在区间(0,3)上单调递
9、增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],而f(0)=-(2a+3)e3＜0,f(4)=(2a+13)e-1＞0,f(3)=a+6,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].又g(x)=(a2+)ex在区间[0,4]上是增函数,且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=(a)2≥0,所以只需且仅需:(a2+)-(a+6)＜1且a＞0,解得0＜a＜.故a的取值范围是(0
10、,).【例4】(2006湖北高考，文19)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.思路分析:从“函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2”这一条件,可以得出函数在该点的导数为零,该点的函数值为-2,以此为依据就可以列出关于a和b的方程组
