高中数学 第三章 导数应用 1_1 导数与函数的单调性同步练习 北师大版选修2-21

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1、高中数学第三章导数应用1.1导数与函数的单调性同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是()A.增函数B.减函数C.在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减D.在(0,π)上递减,在(π,2π)上递增答案：A思路分析:f′(x)=1-cosx＞0恒成立,所以f(x)在(0,2π)上为增函数.2.(2005北京海淀高三第一学期期末检测)函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数()A.(,)B.(π,2π)C.(,)D.(2π,3π)答案：C思路分析:y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx

2、=xcosx,当x∈(,)时,恒有xcosx＞0.此时,函数y=xsinx+cosx为增函数.3.设f(x)在(a,b)内有导函数f′(x),则f′(x)＜0是f(x)在(a,b)内单调递减的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A思路分析:由f′(x)＜0能够推出f(x)在(a,b)内单调递减,但由f(x)在(a,b)内单调递减不能推出f′(x)＜0，如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0,不满足f′(x)＞0.故为充分不必要条件.4.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为（）A.(-∞,-1］和［0,1］B.［-1,0］和［1,+∞］

3、C.［-1,1］D.(-∞,-1)和［1,+∞)答案：A思路分析:y′=4x3-4x≤0x(x2-1)≤0x≤-1或0≤x≤1.5.y=xlnx在(0,5)上是（）A.单调增函数B.单调减函数C.在(0,)上单调递减,在(,5)上是递增函数D.在(0,)上是递增函数,在(,5)上是递减函数答案：C思路分析:y′=lnx+x·=1+lnx;令y′＞0,∴x＞,∴y=xlnx在(,5)上为增函数.同理可求在(0,)上为减函数.6.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是__________.答案:m≥思路分析:因为f(x)=x3+x2+mx+1,所以f′(

4、x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,所以Δ=4-12m≤0,∴m≥.综合应用7.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a＞0)为增函数,则（）A.b2-4ac＞0B.b＞0,c＞0C.b=0,c＞0D.b2-3ac＜0答案：D思路分析:f′(x)=3ax2+2bx+c＞0恒成立.因为a＞0,则Δ=4b2-4·3ac＜0,即b2-3ac＜0.8.已知函数f(x)、g(x)均为［a,b］上的可导函数,且f′(x)＞g′(x),f(a)=g(a),则当x∈(a,b)时有（）A.f(x)＞g(x)B.f(x)＜g(x)C.f(x)=g(x)D.大小关系不能确定答案：A

5、思路分析:令F(x)=f(x)-g(x),∴F′(x)=f′(x)-g′(x)＞0.∴F(x)在［a,b］上为增函数.又F(a)=f(a)-g(a)=0,∴在x∈(a,b)时,F(x)＞F(a),∴f(x)＞g(x).9.已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)＜0,求实数x的取值范围.解:由题意g(x)=3x2-ax+3a-5,令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对-1≤a≤1,恒有g(x)＜0,即φ(a)＜0,∴解得＜x＜1.故x∈(,1)时,对满足-1≤a≤

6、1的一切a的值,都有g(x)＜0.10.(2006陕西高考,理22)已知函数f(x)=x3-x2++,且存在x0∈(0,),使f(x0)=x0.(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=,yn+1=f(yn),其中n=1,2,….证明:xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn;(3)证明:.解:(1)∵f′(x)=3x2-2x+=3(x-)2+＞0,∴f(x)是R上的单调增函数.(2)∵0＜x0＜,即x1＜x0＜y1.又f(x)是增函数,∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1).即x2＜x0＜y2.又x2=f(x1)=f(0)=＞0=x1,y2=f

7、(y1)=f()=＜=y1,综上,x1＜x2＜x0＜y2＜y1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k≥1)时有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk.当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk),∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1.由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn.(3)=yn2+xnyn+xn2