高中数学 3_1_1 导数与函数的单调性同步精练 北师大版选修2-21

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1、高中数学3.1.1导数与函数的单调性同步精练北师大版选修2-21.函数f(x)＝x·lnx在(0,6)上是(　　)．A．单调增函数B．在上是减少的，在上是增加的C．单调减函数D．在上是增加的，在上是减少的2．当x＞0时，f(x)＝x＋，则f(x)的单调递减区间是(　　)．A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(，＋∞)D．(0，)3．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(　　)．A．B．(π，2π)C．D．(2π，3π)4．下列命题成立的是(　　)．A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，

2、b)，都有f′(x)＞0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有(　　)．A．af(a)≤f(b)B．bf(b)≤f(a)C．af(b)≤bf(a)D．bf(a)≤af(b)6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必

3、有(　　)．A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)＞2f(1)7．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的范围为________．8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为__________．9．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.410．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2：(1)若a＝，

4、求f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．4参考答案1.答案：B　解析：f′(x)＝(x·lnx)′＝(x)′lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，∴当0＜x＜时，f′(x)＜0；当＜x＜6时，f′(x)＞0，∴f(x)＝xlnx在上是减少的，在上是增加的．2.答案：D　解析：f′(x)＝1－，令f′(x)＝1－＜0，得且x≠0，又x＞0，∴0＜x＜，∴函数f(x)的单调递减区间为(0，)．3.答案：B　解析：y′＝－xsinx，∵y＝xcosx－sinx是增函数，∴y′＞0.∵x＞0，∴

5、sinx＜0，而sinx在(π，2π)内小于0，∴y＝xcosx－sinx在(π，2π)内是增函数．4.答案：B　解析：若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内单调与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．5.答案：B　解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0且x＞0，f(x)≥0，∴f′(x)≤，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．6.答案：B　解析：由(x－1)

6、f′(x)≥0，得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减或恒为常数．故f(0)＋f(2)≥2f(1)．7.答案：a≥1　解析：由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝，∴g′(x)＝＜0(x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)．∵g(1)＝1，∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.48.答案：(－∞，2]　解析：令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．9.答案：证明：设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，则

7、f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.10.解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)

8、＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)＜0，即f(x)＜0.综上所述a的取值范围为(－∞，1]．4