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《北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数与函数的极值北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数极值的判定方法教学难点：函数极值的判定方法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程一、复习:利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数;③解不等式>0得f(x)的单调递增区
2、间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.二、新课探析1．函数的极值:一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.oaX1X2X3X4baxy请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定
3、义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.oaX1X2X3X4baxy(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4baxy(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在
4、区间的端点.oaX00bxyoaX0bxy２．求可导函数f(x)的极值一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.要注意以下两点:(2)不可导点也可能是极值点.例如函数y=
5、x
6、,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.(1)可导函数的极值点一定是导数为零的点,导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极
7、值点,例1:求y=x3/3－4x+4的极值.解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:(2).求导数(3).求方程的根.(4)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;(1)求函数的定义域例２、(-∞,-1)
8、-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)f/(x)f(x)000--++减减增增101导数为零的点不一定是极值点！x=-1,x=0,x=1;当x=0是函数极小值点y=0.练习１:求函数的极值.解:函数的定义域为令,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.说明:
9、本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.练习２:求函数的极值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y’-0+0-y↘极小值-3↗极大值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.1.用导数来确定函数的极值步骤：（1）先求函数的导数f/(x)；（2）再求方程f/(x)=0的根；（3）列出导函数值符号变化规律表；（4）利用从+、0、-判断函数极
10、大值；利用从-、0、+判断函数极小值；(-∞,a)a（a,b）b(b,+∞)f’(x)符号f(x)增函数++-00增函数减函数极大值极小值四、本课总结:2.函数的极值注意事项：(4)函数的不可导点也可能是极值点;(5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点;(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值,不唯一!(3)极大值不一定比极小值大!(1)导数为零的点不一定是极值点！课后
