高中数学选修2-2函数的极值与导数.docx

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1、1.3.2　函数的极值与导数[学习目标]　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一　函数极值的概念1.极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而

2、且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.思考　(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？答案　(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同.如果

3、在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点.(2)不一定.知识点二　求可导函数f(x)的极值方法与步骤1.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.思考　可导

4、函数f(x)若存在极值点x0，则x0能否为相应区间的端点吗？答案　不能.题型一　求函数的极值例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值.解　由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

5、；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.跟踪训练1　求下列函数的极值.(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝2x＋.解　(1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋

6、y极大值57极小值－7从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.当x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2－＝2＝2，令y′＝0，得x＝－2或x＝2.当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.题型二　利用函数极值确定参数的取值范围(或值)例2　已知函数f(x)＝6lnx－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点.(1)求a的值；(2)求函数

7、f(x)的单调区间；(3)若y＝f(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.解　(1)∵f′(x)＝－2ax－8，∴f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).由(1)知f(x)＝6lnx＋x2－8x＋b.∴f′(x)＝＋2x－8＝.由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去).∴函数f(x)的单调递增区间为