线性规划问题一线牵

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1、线性规划问题一线牵　　纵观近几年的高考试题，线性规划问题已逐步成为高考的一个新热点。它以其实用性、工具性和交互性，备受人们的青睐，命题形式呈循“型”渐进式发展，从单一的、静态的线性规划发展到较全面的、动态的线性规划，体现从知识立意到能力立意的变化，从重计算到重思考的变化，涌现出一些综合性、探索性、开放性等新型试题，分散在诸多相关知识考查中，且呈现出整合的趋势。本文从以下几方面例析近几年高考中线性规划的命题趋势。　　一、一线牵引出线性目标函数的最值　　1.静态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数的最值　　例1（2015年湖南卷）若变量x，y满足约束条件则z=3x-y的

2、最小值为（）　　解析：作出可行域（图略），作直线l：3x-y=0，平移直线l利用数形结合法求最值。答案：选A　　命题点睛要求考生理解目标函数的意义：把z=3x-y看作一条“动直线”l，观察其位置，从而确定目标函数取得最值时所经过的点。动中有静，动直线l牵引出最优解（定点），从而得到z的最小值。　　2.动态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数最值的逆向问题　　例2（2015年福建卷）变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于（）5　　A、-2B、-1　　C、1D、2　　图1　　解析将目标函数看作动直线l：2x-z=0，当z取最大值时，动直线l纵截距

3、最小。故当m≤0时，不满足题意;当m>0时，由可行域如图1所示，其中是最优解，代入目标函数得：，得m=1。故选C。　　命题点睛以动制静，动直线l的位置与参数m的符号相互制约，由两条动直线l：y=2x-z与l1：y=mx牵引出定点B最优解。解含参数的线性规划问题，要善于从已知的可行域（动态区域）中找出不变的（静态）区域。困难在于对参数m的符号讨论，以确定可行域，往往还要将动直线l的斜率和可行域边界的斜率比较，否则找出最优解很容易出错。思维从静态到动态模式跳跃式开放性发展，更能考查学生的创新应用能力。　　二、一线牵引出非线性目标函数的最值　　1.斜率型　　例3（2015年全国

4、卷）若x，y满足约束条件则的最大值为。　　解析作出可行域（图略），由斜率的意义知是可行域内的动点P（x，y）与原点连线的斜率。答案：3　　命题点睛形如型的目标函数，其表示可行域内的动点P（x，y）与定点M（a，b）连线的斜率。将直线PM绕点M旋转，且确保动点P在可行域内，这样由动点与定点的连线牵引出斜率的取值范围。　　2.距离型：点点距、点线距　　例4（2016年山东卷）若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（5）　　A、4B、9　　C、10D、12　　解析x2+y2表示可行域内的动点（x，y）到原点O（0，0）距离的平方，可得x2+y2的最大值为10。故选C。　　命题点睛点点

5、距离型实质就是动点与定点连线的长度。　　变式探究1（点线距）：（2016年浙江卷文?4改编）　　若平面区域　　（1）的最大值是。　　（2）的最大值是。　　答案：（1）（2）　　3.向量数量积型（夹角型、投影型）　　例5（2016年浙江卷）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则

6、AB

7、（）。　　A、B、4　　C、D、6　　答案：C　　变式拓展2：（夹角型、投影型）已知点A（3，1），O为坐标原点，点P（x，y）满足则　　（1）的最小值是。　　（2）的最大值是。5　　（3）的取值范围是。　　解

8、析如图2所示，（1）　　当且仅当与反向时，取等号;　　（2）的最大值即在方向上的投影，为　　（3）的最小值即在方向上的投影，为　　其最大值即与共线时在方向上的投影，为，所以其取值范围是　　命题点睛（1）中抓住定向量与动向量的夹角;（2）中抓住动线段OP在一条定直线OA上的投影;（3）与（2）正好反之。　　图2　　4.直线与圆锥曲线相关位置型　　图3　　例6（2016年山东卷文?4改编）设x，y满足约束条件若Z=x2+4y2，则Z的取值范围是。　　解析Z=x2+4y2表示中心在坐标　　原点，焦点在x轴上的椭圆，当此椭圆与直线x+y=1相切时，Z=x2+4y2最小，　　由得5y2-

9、2y+1=0，由Δ=0　　得为最小值;当此椭圆过点时，为最大值，故所求范围是　　图4　　命题点睛圆锥曲线（动曲线）与一条定直线（或定点）的位置关系牵引出z的取值范围，此题型新颖别致，赏心悦目，耐人寻味。　　变式拓展3设变量x，y满足约束条件5　　其中k∈R，k>0.　　若的最大值为1，则实数k的取值范围是。　　提示：设，则，要使m最大，则只要使抛物线的通径最小。当的最大值为1时，此时抛物线方程为y=x2。因为直线y-1=k（x-1）过定点C（1，1），当直线y-1=k（x-1）与抛物线