平面解析几何中的典型错误及错因剖析

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1、平面解析几何中的典型错误及错因剖析　　平面解析几何是高中数学教材中的重要内容之一，也是高考考查的重点知识，同时所涉及的知识甚多，能力要求也高.复习这部分内容时同学们要理清概念，灵活地运用思想与方法解决问题，特别要注意对平时训练中出现的易错题多加分析.下面从剖析解析几何的典型易错知识与方法加以分析，以提高大家的辨别能力，提高解题速度与正确率.　　易错剖析一：基本概念理解偏差致错　　例1经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是.　　错解：由题意，设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.　　由12?（5k-4）?（4

2、k-5）=5得，k无解，故不存在这样的直线.　　错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12?

3、5k-4

4、?

5、4k-5

6、，而不是12?（5k-4）?（4k-5）.　　正解：由题意设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.　　由12?

7、5k-4

8、?

9、4k-5

10、=5得，k=85或k=25.　　故所求直线方程为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.　　评注：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，理解入陷阱，易致错.

11、　　易错剖析二：知识掌握不重细节致错7　　例2过点（3，3）且横、纵截距相等的直线方程.　　错解：设所求方程为xa+ya=1，将（3，3）代入得a=6，得直线方程为x+y-6=0.　　错因分析：上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（3，3）的直线y=x也符合条件，主要审题不全致错.　　正解：x+y-6=0或x-y=0.　　例3过点A（5，10）且到原点的距离是5的直线的方程为.　　错解：设直线斜率为k，其方程为y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0.　　由点到直线的距离公式，得

12、10-

13、5k

14、k2+1=5，解得k=34.　　故所求直线方程为3x-4y+25=0.　　错因分析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”，其实x-5=0也符合题意.　　正解：当斜率不存在时，所求直线方程为x-5=0；　　当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0.　　由点到直线的距离公式，得

15、10-5k

16、k2+1=5，解得k=34.　　故所求直线方程为3x-4y+25=0.　　综上知，所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.　　评注：直线方程的五种形式中，

17、每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多同学经常犯的错误.7　　易错剖析三：题目条件考虑不全致错　　例4过直线2x+y+4=0和圆（x+1）2+（y-2）2=4的交点，并且面积最小的圆的方程为.　　错解：设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，　　即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，　　所求圆的半径　　r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）　　=125k2-16k+16.　　显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k+16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积

18、最小.故所求的圆的方程为x2+y2+265x-125y+375=0.　　错因分析：本题的“陷阱”是方程x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0表示圆的充要条件，上述解法忽视了k的限制条件（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0.　　正解：设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，　　即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，　　化为圆的标准方程得[x+（k+1）]2+[y+12（k-4）]2=（k+1）2+14（k-4）2-（4k+1），　　由（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0，

19、得5k2-16k+16>0，此时，所求圆的半径　　r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）　　=125k2-16k+16.7　　显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k+16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+265x-125y+375=0.　　评注：审题的关键环节挖掘问题的隐含条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.　　易错剖析四：忽视定义中的限制条件致错　　例5已知定圆C1：（x+3）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+y2=9，动圆M同时与定圆C1，C2都外切，求动

20、圆圆心M的轨迹方程.　　错解：由C1：