当直线和圆邂逅擦出不一样的精彩

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1、当直线和圆邂逅擦出不一样的精彩　　学习数学的目的在于利用相关数学知识，将实际问题抽象概括成数学模型，并对模型求解，进而给生活中的很多问题提供解决的途径.跟圆有关的很多性质被广泛地应用在工业农业生产，交通运输等方面，例如齿轮，轮胎的转动等.近几年来的中考中，涉及到圆的题目屡见不鲜，直线与圆的问题作为命题焦点之一，成为了一道独特的风景.　　这类问题与相似三角形，函数，方程等其他基础理论相结合，考查学生解决几何图形问题，灵活运用转化与化归，数形结合，以及动态变化思想的能力.直线和圆的问题既是对之前学习过的点和

2、直线位置关系的进一步延拓，也为后续学习圆与圆的位置关系打下基础，做了铺垫，更是高中学习解析几何和立体几何的必备知识.直线和圆的位置关系渗透了数学中动态变化以及数形结合的思想，同时也有着承上启下的关键作用.文章在对直线和圆的位置关系进行知识梳理的同时，也引入了一些针对直线与圆的中考题目和典型例题作为例子，并对其类型和解法加以归纳与延伸，希望能对直线与圆的教学提供一些帮助.　　一、相关知识解读　　唐代诗人王维的名句“大漠孤烟直，长河落日圆”8从文学的角度上描写了边塞的宏伟奇特的美景以及作者的孤独寂寞之感.但

3、是从数学的角度，把地平线看作一条长长的直线，笔直的浓烟直直地飘向天空，一轮圆日缓缓地落入黄河之中.将数学图形抽象出来，太阳缓缓下降的过程，直至消失，可以看成直线和圆从相离到相切，最后到相交的整个过程.　　表中的O表示的是圆心，圆的半径用r来表示，圆心到直线的距离用d来表示.　　由此可以得出，对直线和圆的位置关系进行判断有两种方法：（1）根据直线和圆是否有交点及交点的个数.（2）通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径的r的大小关系进行判定.　　二、典型例题　　1.对直线与圆的位置关系进行判断　　例1如图1，

4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AO=x，以O为圆心，1为半径作圆，请问：直线AC和⊙O相离，相切，相交的时候，x的取值范围是什么？　　分析之前提到判断直线和圆的位置关系有两种途径，可以通过直线与圆的交点个数或者是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断.通过交点个数判断二者位置关系的方法从图形上来看十分直观，但是往往不容易求解，但用圆心和直线距离和半径的大小关系判断就更加方便.所以可以作OD与AC垂直，垂足为D，分别由AC与⊙O相离，相切，相交可以得到相应的OD与⊙O半径r之间的关系

5、式，进而求出x的范围.　　解作OD⊥AC于D，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°，所以∠A=30°.所以OD=12AO=12x.　　（1）当12x>1，即x>2的时候，AC与⊙O相离；　　（2）当12x=1，即x=2的时候，AC与⊙O相切；　　（3）当0≤12x<1，即0≤x<2的时候，AC与⊙O相交.8　　变式1在上述题目中，如x分别为1，2，3，则⊙O和AC有怎样的位置关系呢？　　变式2在上述题目中，将直线AC改为边AC，求⊙O和边AC只有一个公共点时，x的取值情况.（要注意此时与直线

6、AC情况的区别）　　2.直线和圆相切　　可以发现，无论是哪种位置关系，只要找到圆和直线相切的这种情况，相离和相交也就迎刃而解了.所以直线和圆相切是二者位置关系中较为重要的一部分内容，同时也是学生们在几何学习中感觉较为困难的部分之一.直接证明直线和圆的相切关系，或者圆或者直线的动态变化过程中的相切情况求其他变量，以及已知直线和圆相切求圆心等问题.　　通常较为常用的证明直线和圆相切的方法有以下两种：（1）公共点已知时，证明圆心到直线的距离d与圆的半径r相等；（2）当直线和圆的公共点没有明确指出，但是要证明直

7、线和圆的相切关系时，可作通过圆心到直线的垂线，再证明圆心到直线的距离与半径相等.　　例2如图2，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE与OB垂直于E点，以DE为半径作⊙D，判断⊙D和OA的位置关系，并证明你的结论.　　分析⊙D和OA的公共点没有明确，所以想要判断⊙D和OA的位置关系，就需要先过圆心作直线的垂线，然后比较圆心到直线的距离d和⊙D半径r的大小来判别.8　　评注例题2中的方法是当直线与圆的公共点不能确定时，需要通过圆心作直线的垂线并证明圆心到直线的距离等于半径，进而证明直线和圆的相切

8、关系，可以简要的归纳为“作垂线，证半径”或者是“无点作垂线，证相等”；采用定义的方法是若直线和圆的公共点是已知的，可将圆心和该公共点连接，证明直线垂直于该半径，类似的可简称为“连半径，证垂直”或者是“有点连圆心，证垂直”.　　例3如图3，已知∠AOB=60°，P是半径为3cm的圆，该圆沿∠AOB的一条边OA从右向左平移，点C为圆与边OA相切的切点.⊙P移动到与边OB相切时，切点为D，求劣弧CD的长.　　分析连接PC，PD.由OA，OB与⊙P