平面上任意凸多边形面积的计算

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1、平面上任意凸多边形面积的计算　　摘要：以平面上任意有限个点为顶点的凸多边形面积的计算是一个很有实用价值的问题，该文结合平面解析几何相关知识，用数学归纳法先推导出平面上凸n边形面积的一般计算公式，然后利用Excel中多个函数和排序技巧实现了面积的程序化计算，并用实例演示说明。最后讨论了如何用这种方法去计算平面上任意凸多边形的面积。　　关键词：平面凸多边形；顶点逆时针排序；面积公式；Excel程序化计算　　中图分类号：TP37文献标识码：A文章编号：1009-3044（2016）28-0245-02　　Abstract：Itisaquitepracticalandvalua

2、bleproblemaboutthecalculationoftheareaofconvexpolygonwhichisformedbyarbitrarypointontheplane.BasedontherelativeknowledgeofAnalyticGeometry，theformulaforthecalculationoftheareaofconvexpolygonwasdeducedandprovedbyMathematicalInductioninthispaper；thenmanyfunctionsandskillsofsortingwereusedi

3、nExcel，whichhelpsitrealizethegoalofprogrammingcalculationoftheareaofconvexpolygonintheexample.Finally，theydiscussedthismethodaboutthecalculationoftheareaofarbitraryconvexpolygonontheplane.6　　Keywords：convexpolygonontheplane；vertexwithanticlockwisesort；formulaofarea；programmingcalculation

4、inexcel　　1引言　　平面解析几何是数形结合的典范，它通过建立平面直角坐标系把点与有序数对联系起来，把图形和方程对应起来，用代数方法来研究几何问题，以几何直观来解释代数结论。　　计算凸多边形面积传统的方法是把凸n边形分割成n-2个三角形，然后累加各三角形的面积得到其面积。近年来，国内有许多学者借助Excel研究凸多边形面积计算的问题，文献[1][2][3][4]中均用梯形法给出凸多边形的面积计算公式，但是或多或少存在一些不足，有的文献证明不够严谨；虽然强调图形的闭合性，但是在面积计算公式中的表述不够严格；还有顶点按逆时针或顺时针方向排序时，面积的正负号的区分没有交

5、代清楚。基于以上事实，本文提出了一个凸n边形顶点按逆时针方向排序的方法，给出并证明了凸n边形面积的计算公式。在示例中，本文先运用Excel自带的相关函数对这n个顶点按逆时针方向排序，再画出凸多边形的图形，最后求出其面积。6　　为了将凸多边形的n个顶点按逆时针方向排序，我们先找出n个顶点中最靠左和最靠右的两个顶点（假设这种点是唯一的，若不唯一，我们可通过简单的旋转变换，使其在新坐标系中唯一），分别设它们为和，即，分别是横坐标最小和最大的顶点。那么过和的直线l就可以将所有的顶点分为上下两组。然后将下面一组顶点按横坐标从小到大排序，而上面一组顶点按横坐标由大到小排序，最后将排

6、序后的两组顶点合并在一起就可以得整个凸多边形n个顶点按逆时针方向的一个排序，对排序后的凸n边形，下面的定理给出了其面积的计算公式。　　2.2凸n边形面积公式　　定理1设是任意凸多边形的按逆时针方向排序后的n个顶点，则该多边形的面积为　　证运用数学归纳法证明。当凸多边形边数n=3时，如图1：　　这里只对图1左图情形给出证明，右图情形证明方法类似。　　假设当n=k时，（2）式成立，那么当n=k+1时，如图2：　　即n=k+1时（2）式成立。　　3实例分析　　下面我们以凸九边形为例，来演示说明在Excel2010中如何求出对应的凸九边形的面积。设为凸九边形的9个顶点，具体的坐

7、标值（注：可随意给出，只要它们可围成一个凸九边形即可）见图3中单元格区域B2：C10。　　步骤①：找出和，然后确定直线.　　为了找到横坐标最小的顶点和最大的顶点，可使用查找函数“VLOOKUP”：在H3输入“=VLOOKUP（MIN（B2：B10），IF（{1，0}，B2：B10，A2：A10），2，0）”，得到的是P1；在H4输入“=VLOOKUP（MAX（B2：B10），IF（{1，0}，B2：B10，A2：A10），2，0）”，得到是P7。与顶点对应的坐标的值可在单元格I3和J3输入图3中批注的命令获得，选中单元格I3：J3向下填充