不规则凸多边形面积公式和计算方法的探究.doc

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1、不规则凸多边形面积公式与计算方法的探究在我们的学习生活中，并不是全都像我们现在所学的正三角形，正四边形，正多边形等等比较规则的图形，还有许许多多不规则的多边形，那么，对于此类图形的面积我们应该如何去求？对于常见的任意三角形或四边形，除了我们学过的底乘高的计算方法内容。如图所示，S二1/2bc*ah,这是最简单的，但它的面积还可以表示成S=—AB*BCsinABC,sin2表示正弦，即直角三角行的对边比斜边，在这道题中就是AH/ABo,用文字表述就是三角形的面积等于两边的乘积及其夹角U-的正弦值的乘积的二分之一。由此，我们拓展到求任意四边形的面积，探究一下任意四边形的面积的求法。我

2、们知道，任意四边形都可以分割成两个三角形，从而通过求两个三角形面积的和的办法来实现，那么，除了分割及我们学过的方法之外，还有没有其它的方法呢？我们可能会想到先把它补成规则的四边形，然后通过相减的方法去做，这样的确可以，而且在和直角坐标系结合起来解决问题也是一种有效的方法，而且补割法再求多边形的面积的应用中常常有无法替代的作用，这个我们后面再探究。如果我们结合向量的知识，把眼光放的更远一些，就会发现还会找到新的方法来表示平行四边形的面积。那就是向量的叉乘运算。但由于我的知识储备有限，我们还没有对向量进行太多的学习，加上向量的叉乘又是大学线性代数与解析几何的内容，我也看不懂，不过可以

3、大概介绍一下，如图所示，aXb=AB*ACsinABC,结合前面所介绍的，它正B好是平行四边形的面积的表达式，不过书中a说要根据右手系判断方向，而且是三维的，这个我就无能为力了，我们下边主要探讨多边形面积的求法。如图所示，许许多多形形色色的多边形（凸多边形），我们应该如何去求它们的面积呢?除了常见的的割补法外，我给出多边形面积的求解公式。任意多边形的面积公式用文字表述为逆时针坐标乘积减顺时针坐标乘积。例如:x1=-5.63562x2=-7.64646x3=-7.67292x4=-4.28625x5=-2.38125力=7.62000y2=6.03250y3=3.59833y4=2

4、.14312y5=4.6302112345的面积=17.61344厘米2=17.61344(幻上+X2%+乃必+X4N+X5M)-(心必+X2•力+Xy%+X4%+X5%)（AI^ACr+（2S^ABCr=（AByACr・•・（2S△仙（,）2=附〃卜

5、昇（1）2_（胭以（；）2则有钻匕肚彳（七^）%七-片）2］［（勺-勺丹仍-儿讣［（七3）（勺3）七才八）（忙片）¥cerr?4S^AABC^x2~x）（丿3_儿）+（七一儿厂（七一丫1）2（七-X［）（勺7］）（丁2_”）（丁3_打）*5（'=［（^2"'I）（『3一儿）T七~y）（v3-Y1）f2SAABC^x2~x

6、）（3'3一八IH）（勺一7）c_（b_大1）（>3->1）-（>2_3'1）（丫3-"）_（X］_七）（y}->3）-（y}-J2）（X］_占）：=二C_（xpl-肝乃-七片+七七）-0卩1一吋］-卩2+审2）_（对2+工2勺+叩‘］）十1心+七）'1+叩'2）△ABC一2再考虑四边形设"从刀的各顶点坐标为/1（X］J・］）、別勺七）、（心3」»/儿丫4」4）"□ABCD=1SAJBC+'d(7)由③可得’AA(I)（X］片+・勺丁4+“4丁1）一（珂丁4+V2+工4丁3）2（屮2+^3+叩i）十1片+七片+叩2）,（对3+呼4+即1）・（屮4+审2+%"3）'oABCD^A

7、J^CAJCD22:'口ARCI)(叩'2+T3+孕4+W1H丫比“2八+叩'2+丫4心)由此，对于n边，我们可以归纳出如下公式:弘=才（®2-切1）+（幼3一切2）+（幼4-砒3）+……+（弘伽-切T）+（V1-砒!））］71="，（咒卩他+1）讹（71））-兀他+伽0迦）％）k=l通过对n边形面积公式的探究，我们发现，很多问题和坐标系都可以结合起来，通过坐标代数的方法解决，这也许就是数学的奇妙之处，通过此次探究，使我了解到数学不但奇妙，而且博大精深，我们现在学习的知识简直是九牛一毛，不，连毛都算不上，这告诉我们,我们的路还很远很远，万不可骄傲和妄自菲薄，须潜下心来，戒骄戒躁，

8、努力学习，向着更高的境界迈进。AJBC7U再考虑四边形设dABCM顶点坐标为心冷］）、〃（七』2）、（'（勺小）'以*4」‘4）SaAB('l)=S^AB('¥S^ACI)由③可得)-(xlJ'4H3r2+W3>氷4(7厂2吨也叫加旳七他叮叽皿）+购呵讪严+旳泅2这是验证五角形面积的求解。我们探讨如何去证明。证明如下：先考虑简单的三角形设ZL4"（的各顶点坐标为月（珂,片）、〃（心，门）、（'（些」3）/!/?=（-）；力0=（.丫3-幵J；一V]）；则有,4几/「=（七_打）（