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1、’,限海岸工程第立‘卷第期!∀!#∃%&∋(&%%)(&∋∗++∗年∗,月不规则区域面积的计算方法‘田光耀,海军大连舰艇学院大连∗∗−.∗/0摘要本文提出了一种允许爪于不等区间的广义辛普森∗1/公式。广义辛普森2∋∀0公式是以拉格朗日三点插值多项式为基拙推导出来的。而后提出计算任意偶数区间,,面积的复合∋∀公式将其推广得到用于寄数区间情况下的推广公式式中最后一个区间面积的计算是基于将边界形状做近似处理的二次多项式此即为适,用于偶数或奇数任意区问且不规则区域面积计算的方法最后以实例加以说明。引言在测。比如,、∗量中有不少用于计算不规则区域面积的公式梯形公式辛普
2、森邝公式及辛普森/13公式等等。辛普森公式不仅适用于各区间大小相等的情况,而在某些实际情况下,计量不等区间2不规则区域0条件下的区域面积更赋有实际意义。例如,若区域边界呈波动变化状态,则可根据波动情况来划分区间的大小及个数。用这种方法比用,而。,等间距计算面积更经济且面积精度高当然不等区间的划分2测量0是基本工,。作它有时亦受到一定的限制本文的目的是提出一种用于偶数区间的广义辛普森∗邝公式和一种用于奇数区间2不规则区域且不等区间0的面积计算推广式。一、拉格朗日多顶式积分,在推导∋∀公式及复合∋∀公式之前先扼要地介绍以拉格朗日插值多项式为依据的积分法是必要的,因为
3、这是∀公式的基础。。,4,,。,4,,、二⋯⋯、为。56⋯⋯假设个不同的点2横坐标0了7八是与之相对∗,。。,应的纵坐标2已知02图0则存在唯一最高次多项式82劝其特性为。49。,9,,,”82二07人.∗⋯⋯2∗0Δ。一:;。4二<6;7∀;=>?≅ΑΒΧ%。。无4,。?=王ΒΧ∗∗闷2,0∗+,3编译据!一期田光翅不规则区域面积的计算方法幻∗约了尹、户而拉格朗日插值多项式为∀。∃&。二。#%艺∋#%(&)儿+一二,∋。#∗%二五#%式中二−、。一∗#艺%护.∀萨∗,二。,,在区间〔气〕上对式#/%积分便可得到多项式曲线下的面积0、。∃艺∋#劝了1左
4、二)耘丫】今藻2#%·,。。二“!。、%二#1%尽中3#5%224二、67公式的推导,即。,!,;现在考虑二次多项式的情况由三个连续纵坐标#了((%构成的两个不。,8!/。等区间#8%#图%多项式曲线下的面积根据式#%可得二9。。:9!!:9;!<0(((#%式中‘!。,9,,9!由式#5%可得卜八曰曰乙冉=十二,一,!!2户∗一∗%#%#门。,。!口=一#二一、%#二一、%二。二,二,二。,∗;&8。十入,而后以4石代入上式并积分即得工≅。一,口。二人!吞%#>?)士汉助川丫>二次多式口Α类似可得人了几百几者Β−:一护Β亨24八4十儿人笼、
5、产,吸了。;一#二一二%#、一∗%⋯‘‘口Χ&1戈⋯∗!一二。、、一、/2)#%#%一一人8#Δ%−∗一二。∗一二Ε一丙。·8−‘8,2尸#%#%气9一二/一二。、/一二,#%#%二。#Α士丛%Β#丛二丛%Γ%卜业扁一一二‘洲<ΦΦ#图/甲,松海岸工程∗.卷将式2Ε0230、+−20代入式20可得浮Φ。、,ΓΗ。一4,,。5Ι4么‘2八入0厂2Η02ΗΗ过‘2.0ϑϑ一奋ϑϑϑΒ丁一7于拜了∗一,一一一一=介—。厂一九。八Α兴产〕—−—、叔上式即为三个纵坐标构成的两个不等区间的不规则区域面积计算公式,此式称为广∗/,。二,二4,义辛普森2∋∀01公式
6、因为对于等区间2ΗΗΗ0式2∗.0即为9。5∗,,2‘““0夸2∗∗0这就是众所周知的辛普森∗1/公式。。、三复合∋∀公式的推导,即∋∀公式加以推广便可计算两个以上不等区间2设有。由式2∗.0个区间0的面积ΔΔ∗Β为偶数?,,Β因为个不等区间总面积!为两个连续不等区间面积2由式Κ.求得0之和所以复合∋∀公式为Δ一二=十,,,45Α十,4,ΗΗ。2互上五生,厂丝丛02Η0!一∗ΜΜ5一:之了不厂,一一:苗∗戛−ΛΗ一“才月多5∗畴奇数扒,07十4吮产〕2∗,0上式即为计算当不等区间数。为偶数时不规则区域面积的公式,称之为复合∋∀公式ΔΔ,”为奇数Φ式,”,∗.∋∀
7、,当为奇数时采用式20的复合Δ,,。一∗公式计算面积!即前20个亦即偶数个不等区间的面积,最后一个区间面积!Δ,。。单独计算出后再加上!即得总面积!46。。。Φ、在计算最后一个区间的面积时,欲获得较精片Π确值的公式是根据经过最后两个纵坐标的二次多项式提出的。经过最后两个纵坐标的二次多项式2图,为Μ,为/。0此多项式的表达式为卜一一一‘‘一一叫尸一一一二叫Ν9。54二54、,/820ΟΟΟ2∗/0图一≅,,,、9.,假设轴与纵坐标了卜重合因为多项式经过末尾两个纵坐标则时由式,2∗/0知4,、9。一,,、”,,,82二097卜当Η时82097于是代入式2∗/0即得,
8、4一,二。7Ο2∗0田
