高考数学大一轮复习第十四章14_2不等式选讲第2课时不等式的证明课件理北师大版

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1、§14.2不等式选讲第2课时　不等式的证明基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法.1.不等式证明的方法知识梳理②求商比较法：a－b>0(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止.这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法.(4)放缩法

2、和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法.反证法是常用的证明方法.它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立.其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论.(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题.证明需要经过两个步骤：①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确.②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确.在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对

3、于从n0开始的所有正整数都正确.2.几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.(ac＋bd)2考点自测解答≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.解答∵x>0，y>0，解答题型分类　深度剖析例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；题型一　用综合法与分析法证明不等式证明因为x>0，y>0，x－y

10、>0，证明只需证明(a＋b＋c)2≥3.所以原不等式成立.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1设

11、a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：证明由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.证明当

12、a＋b

13、＝0时，不等式显然成立.题型二　放缩法证明不等式证明当

14、a＋b

15、≠0时，思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：②利用函数的单调性；(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.跟踪训练2证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得…∴原不等式成立.题型三　柯西不等式的应用证明(

16、2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.解答思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.证明由柯西不等式及题意得，又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)课时作业解答123456789101.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.12345678910解答1234567891012345678910解答1234567891012345678910解答12345678910证明又a＋b＋c>0，123456789106.已知a，b，c

17、∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值.解答12345678910由柯西不等式得12345678910(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立.12345678910证明(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a