4、；n=(2)证明lim如=1,其中冷"T8Vn=工(
5、务sink+aksink),k=lvn=sink-色sink).R=1证明:(1)因为工sin£k=l•1sin2即工sink有界，而｛an｝单调递减且收敛于0,k=PC据迪利克列判别法，知艺色sin/?收敛;/!=100(2)因为^ansinn
6、发散,n=+00,Stl=工1ciksinkI,有limSn=山1"T"00工％sin〃收敛,n=lQ=工务sink,冇hmQn=Q存在,lim2=0,wS’】Un=S“+Qn，Vn=Sn一Qn,1+2冷二S〃+a=__,V„Sn-Q
7、n
8、Qn故有lim―——1."TOOpn七.设F证明：（1）F（f）=「e~tx^^-dx在[0,+oo）上一致收敛；X（2）F（f）在[0,+oo）上连续.foesinx收敛，从而在r>0±一致收敛；对每一rno,关于xg[l,+oo）单调，且一致有界，0<^/x<1,（x>l,z>0）,山阿贝尔判别法知「「丫也兰dx关于/e[0,+oo）一致收敛.（2）对任意r0g[0,+qo）,存在％0nO,使得z0£严竺三在p,0]上一致收敛，X■QIYy且山严在（x,r）e[l,+oo）x[a,/7]±连续，Xitl含参变量积分一致收敛的性质，
9、知F（/）在G连续，由『0的任意性，得F（r）在[0,+oo）上连续.A.设｛.九⑴｝是在[。,列上有定义的函数列，满足（1）对任意xQe[a.b]f｛九（心）｝是一个有界数列；（2）对任意£>0,存在一个j〉0,使当x,ye[a.b],且x-yvj吋,对一切自然数m,有
10、九（兀）一九b）
11、vg・求证：存在一个了序列｛九（％）｝在[⑦列上一致收敛.注：此题即是著名的阿尔采拉定理.证明：（1）证明｛九（兀）｝在[d,b]上一致有界对£=1,存在»〉0,当x,ye[a.b],Rx-y<5时，对于一切nwN*有忧（兀）-九（刃
12、v1・b—a取正整
13、数N,使得<8,N、/b-af八一“记xL=a+k,k=…N,N由｛九（无）｝是有界数列’存在M>0,使得
14、.九（耳）
15、WM,（〃=1,2,…,R=0,l,・・・N）,对任意xe[a,b],存在£使得"[兀-I,忑],卜一兀卜色*<5
16、九（诽
17、加）-九（兀）
18、+
19、九（无）
20、vl+M,(〃=1,2,,即得｛£(兀)｝在S上］上一致有界・⑵设｛",…以，…｝是［a问中的所有有理数,对每一k,｛九(乙)｝是有界数列，由聚点定理，存在收敛的子列，取子列的子列，利用对角线法则，对选到｛/；｝的子列｛/“｝，使得，对每一£,｛人(-)｝收敛，下证｛九｝
21、在［d问上一致收敛.对任意£>0,存在一个/>(),当x,ye［a.b］,x-y<8时，冇I九(x)-/”b)
22、<£‘b—ab—ci取正整数N充分人，使得<5,x.=a+i,(i
