南开大学2003年数学分析考研试题及解答

《南开大学2003年数学分析考研试题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、南开大学2003年数学分析考研试题及解答一．设，其中有二阶连续偏导数，求.解：令，，，则；.二．设数列非负单增，且，证明：.证明：因为非负单增，所以有，由，，根据夹逼定理，得.三．设，试确定的取值范围，使分别满足：（1）极限存在；（2）在处连续；（3）在处可导.解（1）因为，，极限存在的条件为，即，6所以当时，极限存在；（2）因为，所以要使在处连续，需要求，，所以当时，在处连续；（3）显然，，要使其存在且为，必须，，所以当时，在处可导.四．设在上连续，证明积分与积分路径无关.证明：设，则有，即存在势函数，所以与积分路径无关.五．设在上可导

2、，，且，证明：.证明：因为在上可导，则由拉格朗日中值定理，存在在与之间，使得6，由题设条件，，得，，从而.四．设单调递减，且收敛于，发散，（1）证明：收敛；（2）证明，其中，.证明：（1）因为，即有界，而单调递减且收敛于，据迪利克列判别法，知收敛；（2）因为发散，6，有，收敛，，有存在，，，，，故有.七．设，证明：（1）在上一致收敛；（2）在上连续.证明：（1）由狄利克莱判别法知收敛，从而在上一致收敛；对每一，关于单调，且一致有界，，，由阿贝尔判别法知关于一致收敛.（2）对任意，存在，使得，6在上一致收敛，且由在上连续，由含参变量积分一致

3、收敛的性质，知在连续，由的任意性，得在上连续.八．设是在上有定义的函数列，满足（1）对任意，是一个有界数列；（2）对任意，存在一个，使当，且时，对一切自然数，有.求证：存在一个子序列在上一致收敛.注：此题即是著名的阿尔采拉定理.证明：（1）证明在上一致有界.对，存在，当，且时，对于一切有.取正整数，使得，记，，由是有界数列，存在，使得，，对任意，存在使得，6，，即得在上一致有界.（2）设是中的所有有理数，对每一，是有界数列，由聚点定理，存在收敛的子列，取子列的子列，利用对角线法则，可选到的子列，使得，对每一，收敛，下证在上一致收敛.对任意

4、，存在一个，当，时，有，取正整数充分大，使得，，，区间被分割成个小区间，，在每一区间上取出一个有理点，，由于收敛，对上述，存在，当时，，对任意，存在一个区间，使得，，综合以上不等式，得，即得在上是一致柯西列，故在上一致收敛.6