南开大学2008年数学分析参考解答

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1、南开大学2008年数学分析考研试题-.计算题1.求极限lim[x-x2ln(l+-)]。XT8X2.co求和工n=ln(n+2)3.已知广(一无)=兀(广(％)-1)，求/(x)?4.5.设区域D={(x,y^xG[0,2],ye[-1,1]},求x-ydxdyoD二设En-6辆=Je+6,s=l,2,…)，证明数列{£}收敛，并求其极限。三.设f(x)^c[a,h],并且Vxe[a,h]f3yg[a,b]t使『(y)<勻/何，证明北丘[a,b],四.设/(x)在k，+00)—致连续，且广义积分「f(x)dx收敛

2、，求证lim/(x)=0oA大T+CO五.设/6)在(-00,4-00)±可微，对任(-oo,+oo),f(x)>0,I广(兀)

3、g”(x),其中0<加<1,任取实数兔，an=ln/(^_!)，(刃=1，2,…)，00证明级数工

4、%-暫_]I收敛。71=18六.证明函数项级数/(兀)=工必(1)在(0,+00)上收敛，但不一致收敛;"=1v匕作变换u=—,v=x,w=xz-yx(2)和函数于⑴在(0,+8)上任意次可导。方27C^72将方程唏+2玄「变换为W关于自变量E)方程。八.求由曲面X2+>?2+az=4/将球

5、体疋+y2+才w4az分成两部分的体积Z比。九、设/(尢)是(0,+8)上具有二阶连续导数的正函数，且/x)<0,xw(0,+8),厂(力在(0,+oo)上有界，则lim/x)=()oJIT+00南开大学2008年数学分析考研试题解答•、1、解lim[x-x2ln(l+—)]=limx2[——ln(l+—)]XTOO丫XTOO丫y=lin?―呼切/tOfZ—恻2(1+1)、解工早L十乞（j厂丄（丄-丄）幺“S+2）幺'2nn+2=z（-i）ni*（丄一士厂丄—£（t厂,1=12nn+22心n心n+200200n+

6、2]3、解由已知广（—x）=x（广（兀）一1）,得广⑴=（一兀）（广（一兀）-1），把上式代入，有广（兀）=（一兀）（广（一兀）一1）=一x[x（/'（x）—l）-1]=-x2ff(x)+x2+x,2X+xX2+11+x2+l1x2+l所以f(x)=x+—ln(l+x2)-arctanx+CXcx.-In?.71.=一arcsine~+arcsine2=——+arcsine26arcsine271所以x=-21nV32=ln-5、解、由区域D关于设区域x轴对称，被积函数关于y是偶函数，所以x-ydxdy=2

7、jJx-

8、ydxdy0

9、yjx-ydx+2(dyfJy-xdx=2詹(2—刃栩+2(护冷

10、l2-y)牝+詈冷

11、2潍畔二、证明显然有兀2>°，£>舲，0=3,4,…);K-1~2?6l%n~X，，~[1*("=34…)；从而｛乙｝是压缩型迭代序列，于是得｛£｝是收敛的，设hmxfl=A，显然A>V6；zz—>00在x“+】=k+6两边,令兀TOO取极限得到A=Va?6,所以A=3；故limx”=3•"Too三、证明方法一由条件可知，任収西存在兀2w[d，b]，满足I/(^2)1<

12、

13、/(

14、^)1,存在兀3w[d,b],满足丨/(无3)15丄1/(x2)l，这样继续下収，得到存在£w[d,b],满足l/(x/1+1)l<

15、l/(xJI,(H=l,2,...);iit而1/(兀疋右1/(西)1,(“1,2,・・・)；存在｛£｝了列%｝及x0^[a,b],使得％｝收敛于兀0;在利用/(%)在兀0处连续及I/(^)1<^1/(%,)!，即得I/(x0)1<0,/(x0)=0，结论得证.方法二山于/(%)在[a,b]上连续，设m=minl/(x)l,利用条件可知，对任意xe[a,b]9a^x

16、]，满足I/(y)IS丄I/(兀)1,从而由m<—f(x),(xe[a,b]);22进而有加<丄m,m<0,/??=0;存在x()e[a,h]，使得/(x0)=/n=0;结论得证.四、证明由/在/=[d,+00)上一致连续，得，对V£〉()，》〉()，当X},X2EI9且IXj-x2lco*对上述£

17、>0,存在NwN,当n>N时，便有1/(盒)1<6取M=N&,对任意x>M,必存在正整数m>Nf使得xw[加》,(加+1)刃，I/(兀)&/(兀)-/(即1+1/(-)Iv2g故得lim/(x)=O.XT+OC五、证明设F(x)=ln/(x),由题设条件,知F⑴连续、可导,KIFV)1=1m,fM从而a„=ln/(an_1)=F(^_1),5=