南开大学2007年数学分析参考解答

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1、南开大学2007年数学分析考研试题及解答1求lim(++…+——)o斤+]斤+22/7解法一利用1+—+・・・+—=lnn+c+£n,其中2n“*0,1+丄+・・・+丄+丄+・・•+丄2n71+12n(11)lim—ln+12/in—>oo=limnT811)+…+——斤+12n)=lim[(ln2n+c+£2zj)-(lnn+c+=lim[ln2+(e2n-£n)]=In2.、・(111解法二lim—lnn4-12n)=lim〃一>oo]么=111(1+兀)

2、；=ln2.2求「土sintdto令/(”)=re-at凹df,(Q>0),由于此积分在［0,+oo)上

3、一致收敛,从而1(a)在［0,+oo).上收敛,(a>0)，1(a)=arctana^C,由他誇，得c誇，•.717171sintdt==—；244或者£(^e~urc/u)sintc/t=je~lt,sintdt^du=f—du』)1+/171=arctanu=—。049/一ax〃一d)厂——L令AM3求函数f(x,y)=2x2+12xy^y2在闭区域£>={(%,y)e7?2:x2+4/<25}上的最小值。=4x+12y=0,解得(兀,)；)=(0,0)为f(x,y)在D内的唯一驻点,且=12x+2y=0,/(0,0)=0当0」)属于边界dQ时，x2+4y2=25

4、,令x=5cos/,y=-

5、sinr,te[0,2龙],代入得25?f(x,y)=50cos2z+150sin/cosfHsin21'•4=25(14-cos2f+3sin2z+-——cos2r)8897=25(—+—cos2/+3sin2r)889?5=25(-+—sin⑵+0)),所以minf（x,y）=-50<>n或者利用拉格朗H乘数法求解，设F（兀,y,A）=2/+12xy+y2+A（x2+4y2—25）,aFaYa/-a>4x4-12y+2/lx=0,=12x+2y+8Ay=0,求得驻点值。x2+4y2-25=04设D={（x,y）e/?2:x2+y2

6、x>0,y>0},求二重积分J.Dx9解JJ7%9）?7dxdy=fd0（Va*9cos90-r1sin7OrdrD7T97cos2^sin20d0Fdr11913「（4）11733951r（-）=-x-r（-）,r（-）=-r（-）,4444444r（-）r（-）=,r（5）=4!=24,44•龙sin—4119所以Jf7?7^y=-1r（4）•r（4）-了屁-了屁d20r（5）21381925设S={（x,y.z）eR3:x2n+y2n^z2n求曲而积分jj（x3+b+沖S的值。解观察曲面方程，可知其关于轮换对称,因此［pdS二JJVdS=Jj?dS,sss又兰是

7、关于z的奇函数曲面S关于平面xoy对称，故JJz'dS=0,s所以j](/+b+z3)dS=0。S6设厶为单位圆x2+y2=1的正向，计算积分—[(xsinx+ycosx)dx+(ysinx-xcosx)dy]lx+y解设原式=[pdx^Qdy,直接计算可得学=学，g)工(0.0),Ioxdy我们利用“挖奇点”的方法。做一个充分小的圆周C：X2+/=£2,方向逆时针。厶与C所包围的区域记为dQdx2，由格林公式得JPdx+Qdy-JPdx+Qcly=

8、j(LCDr=0,所以JPdx+Qdy=j*Pdx+Qdy,LC再应用一次格林公式及积分中值定理，得Pdx+Qdy=g

9、pv[(xsinx+}jcosx)dx+(ysinx-xcosx)dy]c£ceycosxdxdy-2eyeCOS-7TE2=-271e>ecos令£->0+,得lim(-27re>ecos兀)=-27re()cos0=一2兀，£->()*丿斤以一r——

10、(xsinx+ycosx)dx+(ysinx-xcosx)dy]=一2兀。"+y7设函数/(兀)在[0,+oo)上连续，/(0)<0,并且f(x)>2,对兀>0成立,证记b=/(O)vO,因为函数于(切在[0,+oo)上连续及.厂⑴>2,所以当兀>0时，有/(x)-/(0)=/(^)x>2x,(其中0v&vx),f(

11、x)>2x+/(0)o/呼)>2呼+/(。)“由连续函数的介值定理，存在口。,罟)，使得M)=o,即方程/(%)=0在区间(0,1回)中有一根;2再由f(x)>2,知/(兀)在(0,+oo)上严格单调递增，从而跟的唯一性得证。8设于⑴在［0,1］上连续，求证：lim丄£(-1)“丫(±)=0。200nyn1匚k1吕k证明lim—亍(-l)zf(―)=lim-£(-l)z/(—)=0,“T00n77in川一^n—n当〃为偶数时，nn丄£(—(£)斗牴兀®)-/》(引),ngn2n/=]n2n冃nlim=fMdx‘2n/=In2』)nlim丄/(—)=丄