中考数学专题复习 开放探究试题

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到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”开放探究专题开放探究题是相对于条件完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条件不全，或满足条件的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条件，结论或选择相关的求解途径．这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题．一、条件开放型条件开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条件的一类题型，其特征是问题的条件不完备，且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条件，即不一定由结论唯一推出．解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求其合乎要求的一些条件．例1（2015•娄底）如图1，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是______,(只需写一个，不添加辅助线).图1解析：由已知AB=BC及公共边BD=BD可知，要使△ABD≌△CBD，已经具备了两条边相等，根据全等三角形的判定定理，应该有两种方法SAS或SSS能使这两个三角形全等．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．评注：根据图形探究三角形全等的条件，除了根据基本判定方法以外，还应善于挖掘图形中隐藏条件（如公共边、公共角、对顶角等），以及线段的和差、角的和差关系等．例2（2015•梅州）已知，△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）．①②图2解析：本题由于没有确定相似三角形的对应顶点，所以应分两种情况讨论：①当△AEF∽△ABC时（如图2-①），由点E为AB中点，得AF=AC（或点F为AC中点，EF∥BC，∠AEF=∠B等）；若使△AFE∽△ABC（如图2-②），则应添加∠AFE=∠ABC或∠AEF=∠ACB等．评注：本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条件较多，要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用．跟踪训练：1．（2015•黔东南）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，连接BD.请添加一个适当的条件_______________，使得△ABD≌△CDB.（只需写一个）.第1题图第2题图新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困 到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”2．（2015•牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_______________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.二、结论开放型结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，可很好的培养学生的发散思维．在解答结论开放性探究题时，要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻地分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍；对于需要找出多个结论的结论开放性问题，可以运用分类讨论的思想，从各个不同的侧面入手，进行探索、分析，寻找问题的结论．例3（2015•淄博）对于两个二次函数，，满足．当时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式_________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．分析：已知当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求出m的确值即可．解：因为当时，二次函数的函数值为5，的函数值为3，此时，所以当时，，即得或，又因为此时有最小值，故抛物线的顶点坐标为(，3)，用顶点式设出解析式为，随着取值的不同，的解析式也不断变化，如当时，解析式为和．C·OABP评注：本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是求出的值．例4（2015•崇左）如图3，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连结PC，则∠APC的度数是________度（写出一个即可）．图3分析：根据三角形外角性质可知，∠APC的度数大于零度，且小于∠APC度数，故只需求出∠ABC度数，便可确定∠APC的度数的范围．解：因为圆周角∠ABC与圆心角∠AOC对的是同一条弧，所以∠ABC＝∠AOC＝40°．根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，知∠APC＜∠ABC，即0°＜∠APC＜40°，据此写一个度数即可．评注：此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出∠ABC的度数是解题关键．跟踪训练：3．（2015•益阳）已知y是x的反比例函数，当x>0时，y随x新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困 到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．4.（2015•义乌）如果抛物线过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式y=2x2+3x﹣4．请你写出一个不同于小敏的答案________．BACD第4题图5．（2015•潜江天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.三、综合开放性问题综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，要求学生通过合理推理，透彻分析总结出结论，从而培养学生的发散思维能力．根据这类问题的特点，在解答时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例5如图4，点A、B、D、E都在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C．给出以下三个论断：①AB是圆的直径；②点D是BC中点；③AB=AC．以三个论断中的两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．图4分析：以三个论断中两个为条件，一个为结论，共有三种组合：即由①②推出③；由①③推出②；由②③推出①．然后分别根据图形，结合所学知识，分析三个组合的正确与否即可．解：正确的命题可以是由①②推出③，证明如下：连接AD，因为AB是圆的直径，所以AD⊥BC.又因为点D为BC中点，所以AD垂直平分BC.所以AB=AC．（由①③推出②和由②③推出①也都是真命题，证明过程请自主完成）评注：本题属于条件和结论全开放的问题，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和90°的圆周角与直径的关系是解答本题的关键．跟踪训练6．如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（）A.0B.C.D.1新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困 到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”第6题图7.（2015•烟台）先化简：，再从－2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值.四、存在性问题G存在性问题是指在一定条件下，探索发现某种数学关系是否存在的一类问题，它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现．解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的假设，按题目中条件和所学知识进行推理、计算，若推出的结论合理，则说明假设成立，反之，则假设不成立．例5（2015•攀枝花，有改动）如图5，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．图5⑴求该抛物线的解析式；⑵在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．分析：⑴把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，⑵设D（，），过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点G，设△BCD的面积为S，根据，即可求出S与t之间的函数关系式，从而求出D点坐标及△BCD面积的最大值.解：⑴把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c中得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.⑵存在，理由如下：设D（，）.过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点G，由⑴易得点C的坐标为（0，3），设直线BC的解析式为，将B（3，0）和C（0，3）代入，得，解得，所以直线BC的解析式为，则G点坐标为（，）.所以DG==-（）=，新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困 到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”设△BCD的面积为S，且，所以S==，配方，得S=.所以当时，面积有最大值为，此时点D坐标为（，）.评注：在解答坐标系中三角形面积问题时，通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形，或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。跟踪训练：8．（2015•黔东南）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为A（4,0），与轴的交点为B，过A、B的直线为.（1）求二次函数的解析式及点B的坐标；（2）由图像写出满足的自变量的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.第8题图跟踪训练参考答案：1．，或，或，或.2．AB∥CD；或AC∥BD；或∠BAO=∠DCO；或∠ABO=∠CDO；或DO=BO；或∠ADO=∠CBO.3．答案不唯一，如．4．本题答案不唯一，如y=x2﹣2x+25．（1）∠DAB=∠DCB；（2）BD平分∠ADC和∠ABC；（3）DB⊥AC，DB平分AC等均可．证明略.6.D7.原式=．可取x=2代入上式，==4．注：所代入的数值不能是-1、0、1，其他的均可，8.（1），点B的坐标为(0,3).（2）x＜0或x＞4.新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困 到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困