“三看”策略在三角恒等变换中的应用

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1、“三看”策略在三角恒等变换中的应用　　三角恒等变换是解决有关三角问题的重要环节，它以同角三角公式、诱导公式、和、差、倍角公式为基础，将公式广泛应用于三角函数的三大基本问题：求值、化简、证明。在运用这些公式进行三角恒等变换时，要选择好解题的突破口，即在变换时，把握好“三看”策略：一看角的差异，二看函数名称的异同，三看式子的结构特点，通过“三看”，找到变换的切入点。　　一、看三角函数式子中的角　　本着化归思想下的和谐统一的原则，如果某些三角函数式子中的角不统一的时候，我们将努力使其角向着和谐统一的方向发展，往往能收到意想不到的效果。　　例1.已知sin（2？琢+？茁）=5sin？茁，求证

2、：2tan（？琢+？茁）=3tan？琢　　分析：已知条件中的角是2？琢+？茁，？茁，要证明结论中的角是？琢+？茁，？琢，本着统一角的思想，努力在角上做文章，将2？琢+？茁表示成？琢+？茁+？琢；？茁表示成（？琢+？茁）-？琢。　　解答：∵sin[（？琢+？茁）+？琢]=5sin[（？琢+？茁）-？琢]　　∴sin（？琢+？茁）cos？琢+cos（？琢+？茁）sin？琢=5sin（？琢+？茁）cos？琢-5cos（？琢+？茁）sin？琢4　　即2sin（？琢+？茁）cos？琢=3os（？琢+？茁）sin？琢，两边同除以cos（？琢+？茁）cos？琢　　得到2tan（？琢+？茁）=3ta

3、n？琢　　点评：通过观察发现题目中角的差异，进行角的统一，逐步向变换的目标发展。常见的统一角的变换方法有：2？琢=（？琢+？茁）+（？琢-？茁）；？琢=（？琢+？茁）-？茁=（？琢-？茁）+？茁；（■-x）+（■+x）=■等。　　二、看三角函数名称　　解决数学问题时要使待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在数量关系方面趋于统一的方向进行。同样在解决三角函数的化简、求值、证明问题时，如果三角函数的种类太多，应该利用各种关系式转化函数种类，力求达到统一。　　例2.求[2cos40？?+sin10？?（1+■tan10？?）]?■的值。　　分析：观察题目中的函数种类有正弦、余弦、正切，在这样

4、的情况下将切化弦，达到统一，易使问题解决。　　解答：原式=[2cos40？?+sin10？?（1+■■）]?■　　=[2cos40？?+sin10？?（■）]?■　　=（2cos40？?+■）?■sin80？?　　=■?■sin80？?　　=2■cos30？?=■　　点评：通过观察三角函数关系式中函数名称的特点，进行函数名称的统一，达到化简的目的。常用的统一名称的化简方法有：切化弦、弦化切等。4　　三、看三角函数式子结构　　拿到一个数学问题，不要急于下手，要学会分析，寻找条件与结论之间的关系，挖掘题中隐含的信息，对于三角函数题，我们也要仔细观察，看表达式的结构，看式子结构所表达的数学

5、信息，与我们所学的哪个公式相近，与我们做过的哪个题相似，然后再解题，将能更加准确地解题。　　例3.求函数y=■的最大值和最小值。　　分析：注意到所给的式子的结构，联想到sinxcosx与sinx+cosx之间的联系，即（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx。可以通过“换元”，将三角式化为代数式，从而使问题简捷解决。　　解答：设t=sinx+cosx，则sinxcosx=■，且t∈[-■，-1]∪[-1，■]　　所以y=■=■　　根据t∈[-■，-1）∪（-1，■]，ymax=■，ymin=　　-■　　点评：通过观察，找出题中函数式的结构特点，联想到学过的公式，进行类似化简。

6、如看到■就能联想到tan（？琢+■）；看到asin？琢+bcos？琢就能联想到■sin（？琢+？渍）等。　　以上是对“三看”策略的分解分析，在实际应用过程中，它们不是孤立的，是彼此联系的，要综合运用。做一个题往往要用到“两看”，甚至“三看”，只有我们能深刻领会“三看”策略的精髓，应用起来就会得心应手了。　　（作者单位江苏省金湖县第二中学）4　　？?编辑温雪莲4