浅谈三角恒等变换中的“变”

《浅谈三角恒等变换中的“变”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、［中学数学］浅谈三角恒等变换中的“变”作者：谈超单位：珠海市实验中学联系电话：13543882080浅谈三角恒等变换中的“变”摘要：本文利用在现行高屮教材中谈到的两角和与差的正余弦、正切公式;及相关演化，并结合近十年来高考试卷（全国卷及广东卷）中对它的考查特点，归纳并总结出在思考三角求值、化简、证明等三角恒等变换时四种变换“角”、“名；“次二“形”的数学思路。关键词：三角函数恒等变换角名次形§1引言“三角恒等变换”是高中数学的一个重要内容之一，它所涉及的公式多,倒导致学生会感觉无从下手，所以一般难度较大。从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解

2、答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。§2知识基础§2.1相关公式及相互联系§2.1.1三角函数和.差、倍、半公式已证明公式cos(o-0)=cosacos0+sinosin0用-代仰&:cos(o+0)=cos6Zcosp-sinasin0sin(a+/?)=cos[(a+/?)]=cos[(a)-J3]=cos(a)cos(5+sin(a)sinp2222用一>5^代仰寻:sin(a-0)二cosacos0+sinasin0tan"土t

3、an01+tan•tan/3令q=0M二倍角公式:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a--1-2sin2asinla=2sinacosa小2tantan2a=1-tan§2.1.2降幕扩角公式用二倍角公式经过变形就得到了降幕扩角公式：2I+cos2a・°1-cos1•小cosasin^a-sinacosa=—sm2a222§2.1.3辅助角公式变换三角和差公式得辅助角公式：asinx+bcosx二yla2+b2(sinx/"+cosx.)=如+/异(sin兀cos0+cos兀sin0)=^a2+b2sin(x+0)其中cos0=/°；sin0=

4、/&§2.1.4三角恒等变换的要求①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。§3三角恒等变换中的“变”变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换,三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，相互渗透！§3.1三角恒等变换中的“角”的变换例1：35已知cosq=,cos(g+/?)=-,0

5、值的本质！解：•・•0=(Q+0)-d・•・cos(3=cos[(€Z+0)—q]=cos(6r+0)cosa+sin(G+0)sinavcos(7=—,0

6、系，而是直接去将角度按公式展开！这样会带来新的变量！2：在已知正弦（余弦）求解余弦（正弓幻的值的过程中，忽略角度的范围!§3.2三角恒等变换中的“名”的变换1a-•1+tan例2：求证:1+甌=——22cos2--11-tan-22分析：对于此等式，三个函数名都存在，给计算和化简带来不便，所以要减少未知函数的个数，在数学化简上常用的思路是消元,切化弦对于角度而言，有半角也有单角，所以从“角”上来说也要将其统一证:右边=.a1+tan2ta1-tan2.asinl+「acos2•asin-1Lacos—2a.acos——sin22a.acossin224、*1

7、+sina左边=2cos2—-12l+2sin-cos-22二cosaza.a、2a.a(cos——Fsin—)cos——sin——2=一2=右边(得证)7a.9aa.acos「snr—cossin—2222发散思考：1、在化简过程中右边的化简吋在上下同吋乘以cos£那么就有2一个问题，分式的上下同时乘以一个数，是恒等变换吗？耍保证所乘的数非零！即：仝工兰+鸟龙，其实这就是原表达式中的定义域限制。所以可以保证22这个变换过程是恒等变换！2、在化简的左边分式的上下同时除以cos^+sin^,那就要考虑所除的那个22数是否非零，即要保证这个变换过程是恒等变换，就

8、要保证cos—+sin—0,即+兰)工0—~—+k7