高考数学一轮复习不等式选讲第2节不等式的证明课时分层训练文北师大版

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1、一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。课时分层训练(五十八)　不等式的证明1．已知定义在R上的函数f(x)＝

2、x＋1

3、＋

4、x－2

5、的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.【导学号：66482493】[解]　(1)因为

6、x＋1

7、＋

8、x－2

9、≥

10、(x＋1)－(x－2)

11、＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.4分(2)证明：法一：由(1)知p＋q＋r＝3，且p，q，r大于0，∴(p＋q＋r)2

12、＝9.又易知p2＋q2＋r2≥pq＋pr＋qr.8分故9＝(p＋q＋r)2＝p2＋q2＋r2＋2pq＋2pr＋2qr≤3(p2＋q2＋r2)，因此，p2＋q2＋r2≥3.10分法二：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，故p2＋q2＋r2≥3.10分2．(2015·湖南高考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.【导学号：66482494】[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.2分(1)由基本不等式及

13、ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.5分(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得00，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解]　(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立.2分故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．对分管部门的党风廉政建设抓得不够紧，找问题的多，批评教育的少，放松了对分管部门的日常监督、管理和教育。对分管部门干

14、部发现的一些违规违纪小错提醒不够、批评教育不力，监督执纪“四种形态”作用发挥不够一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。所以a3＋b3的最小值为4.5分(2)由(1)知，2a＋3b≥2·≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.10分4．(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)＝

15、x

16、＋

17、x－1

18、.(1)若f(x)≥

19、m－1

20、恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.【导学号：66482495】[解]　(1)∵f(

21、x)＝

22、x

23、＋

24、x－1

25、≥

26、x－(x－1)

27、＝1，当且仅当0≤x≤1时取等号，∴f(x)＝

28、x

29、＋

30、x－1

31、的最小值为1.3分要使f(x)≥

32、m－1

33、恒成立，只需

34、m－1

35、≤1，∴0≤m≤2，则m的最大值M＝2.5分(2)证明：由(1)知，a2＋b2＝2，由a2＋b2≥2ab，知ab≤1.①又a＋b≥2，则(a＋b)≥2ab.8分由①知，≤1.故a＋b≥2ab.10分5．已知函数f(x)＝k－

36、x－3

37、，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.求证：a＋2b＋3c≥9.[解]　(1)因为f(x)＝k－

38、x－3

39、，所以f(x＋3)

40、≥0等价于

41、x

42、≤k，2分由

43、x

44、≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．因为f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]．因此k＝1.5分(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数．所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.8分对分管部门的党风廉政建设抓得不够紧，找问题的多，批评教育的少，放松了对分管部门的日常监督、管理和教育。对分管部门干部发现的一些违规违纪小错提醒不够、批评教育不力，监督执纪“四种形态”作用发挥不够一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。当

45、且仅当a＝2b＝3c时等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.10分6．(2017·福州质检)已知函数f(x)＝

46、x＋1

47、.(1)求不等式f(x)＜

48、2x＋1

49、－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b).【导学号：66482496】[解]　(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；2分②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此时