高考数学一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明教师用书 文 北师大版

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第二节　不等式的证明[考纲传真]　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．

2、不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两种.名称求差比较法求商比较法理论依据a＞b⇔a－b＞0a＜b⇔a－b＜0a＝b⇔a－b＝0b＞0，＞1⇒a＞bb＜0，＞1⇒a＜b(2)综合法与分析法①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．1．(思考

3、辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立

4、的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　)(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)A．x＞y　　　　　B．x＜yC．x≥yD．x≤yA　[x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]3．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)

5、＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．]5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.[证明]　因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，8分政德才能立得稳、立

6、得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.10分比较法证明不等式　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.[证明]　法一：－(＋)＝＋＝＋＝＝≥0，∴＋≥＋.10分法二：由于＝＝＝－1≥－1＝1.8分又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.10分[规律方法]　1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中

7、，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号．[变式训练1]　(2017·莆田模拟)设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b).【导学号：66482490】[证明]　因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识