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1、等比数列的前n项和（第一课时）西安蓝田工业园高中王丰洲一、教学目标1、掌握等比数列的丽n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能川等比数列的前n项和公式解决相关问题。难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。三、教学设想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下
2、，以学生独立自主和合作交流为前提，以“等比数列前n项和”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小纟R、集体等多种解难释疑的尝试活动，将H己所学知识应用于对“等比数列的前n项和”的深入探讨。让学生在“活动冲学习,在“主动冲发展，在“合作呻增知,在“探究冲创新。设计思路如下：四、教学过程（―）知识回顾首先回忆一下前两节课所学主耍内容：1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比
3、数列的公比。公比通常用字母q表示（gHO）,即：｛色｝成等比数列O也如anHO”是数列｛色｝成等比数列的必要非充分条件（前捉条件）。2.等比数列的通项公式：d“=6•q-'(a】•qH0),an=am-qm~l(①•qH())3・既是等差又是等比数列的数列：非零常数列・（二）问题情境引入“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天屮，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的
4、钱数都是上一犬的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。’'请同学们思考讨论一下，穷人能否向富人借钱？（启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。）分析：学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：穷人30天借到的饯：S3（）=l+2+・..+30」l+｛）＞＜3°=465（万元）穷人需要还的钱：S30=1+2+2?+.・・+229=?教师紧接着把如何求S30=1+2+2?+…+229=?的问题让学生探究，530=1+2+224-...+2
5、29①若用公比2乘以上面等式的两边，得到2S30=2+22+--・+229+23°②（积极引导学生观察①②式了的相互关系，体会错位相减的求和思想）若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：S30=23°-1=1073741823（分）=1073（万元）＞465（万元）答案:穷人不能向富人借钱（三）用“特例到•般"的研究方法，猜想数学规律。1•提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生模仿以上方法推导）Sn=4+++••■+%/"_+^Qn（1）qS“=aiq+aiq2+…+绚厂+側"（2）（1）—（2）有（1-q）S〃=
6、a[-aiqn推导出等比数列前n项和S〃的公式,a_gq1一9.••当qHl时，S”/°一"）①i_q当q=i时，Sfl=nax'严]4(1一/)/一以，(E)-q-q特别提醒：这种求和方法称为“错位相减法”“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法.2.结合等比数列通项，探索等比数列求和公式的其他方法。一——=qci
7、++...+(1)应用连比性质・.・乞=玉%a2即(q丰1)(2)应用方程思想n—2n—1sn=%+。]§+.・・+%§+%g=a}+g(°]+&4+.・・4-axqn~2)=①+gs归=5+q6-a
8、n)=+qsn-anq绚%?q(qHl)公式分析等比数列的前ii项和公式：・••半gHl时，①或S,严鱼二竺②1-q1-q当q=l时，Sfi=nax当已知m，q,n时用公式①；当已知Q],q,Q“时，用公式②.(四)例题应用，练习巩固。【基础知识形成性练习】根据下列条件求等比数列仏｝的前n项和S”①⑷=2,g=2,〃=8②％=&g=*,%=*【例题解析】例1・写出等比数列1-3,9-27,…的前斤项和公式并求出数列的前8项的和.解因为c«=i,g=〒=_3,所以等比数列的前〃项和公式为故58=1-(-3)8=-1640・例2
9、.求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.解由a}=,a2=2得q=2•••S4lx(l-24)~1^2S］（）]x(l_2"))1^2-=1023从第5项到第10项的和为510-54=992【变式训练】（学生板演）（1）已知等比数列血｝中,q=3求S3；（2）求等比数列1,的前
