数学竞赛典型题目（一）

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1、智浪教育—普惠英才文库数学竞赛典型题目（一）1.(2004美国数学竞赛)设是整数列,并且他们的最大公因子是1.令S是一个整数集,具有性质:（1）（2）,其中可以相同（3）对于，若，则证明：S为全体整数的集合。2．(2004美国数学竞赛)是正实数，证明：3．(2004加拿大数学竞赛)T为的所有正约数的集合，求集合T的子集S中的最大可能的元素个数。其中S中没有两个元素，一个是另一个的倍数。4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数满足下列条件：（1）的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；（2）2004能整除.5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为的实数满足：在表达

2、式中至多有2004个不同的区块形式，，证明：是有理数。6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S，满足：如果，则7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S中有奇数条直线分离这两点。8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：是偶数。9．(2004亚太地区数学竞赛)是正实数，证明：智浪教育—普惠英才文库10．（2003越南数学竞赛）函数满足，令，求在区间的上最值。11．（2003越南数学竞赛）定义，证明：（1）每个多项式都有三个不同的实根；（2）令A为的最大实根，B为的最大

3、实根，证明：12．（2003越南数学竞赛）令F为所有满足且对任意成立的函数的集合。求最大实数A使得对所有都成立。13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个，我们可以找到一个位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被整除。14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD的边其中是互质的奇数。矩形被分成了个单位正方形，对角线AC交单位正方形于点，证明：16．（2002美国数学竞赛）S为含有2002个元素的集合，并且P是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任

4、意，我们可以将Ｐ的个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：对于任意实数成立。18．（2001美国数学竞赛）非负实数满足，证明：智浪教育—普惠英才文库19．（2002巴尔干数学竞赛）数列，求所有使是完全平方数。20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有使得21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边

5、形。23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数满足，证明：24．（200１加拿大数学竞赛）位于半径为１的圆上，并且不是直径，点列定义如下：是的外心，证明：共线，并求所有的使得是一个整数的５０次幂。25．（2002年越南数学竞赛）为正整数，证明：方程有唯一的解，且时，26．（2001年越南）对于实数定义如下数列：由，确定（1）若证明：对于任何a，数列有极限;（2）若证明：对于某些a，数列没有极限.27．（2000年越南）定义一个正实数序列：，求所有实数c，使得对所有，数列存在极限.28．（2002波兰数学竞赛）是正整数，数列智浪教育—普惠英才文库，证明：数列中的任两项互质。29．（2001波兰数学竞

6、赛）数列，一个数如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。30．（2001波兰数学竞赛）都是整数，使得对所有非负整数都是完全平方数，证明：31．（2001波兰数学竞赛）数列定义如下：和为素数，为的最大素因子。证明：数列有界.32．（2001波兰数学竞赛）是一个多项式，次数为奇次，满足对所有成立。证明：33．（1978年国际数学竞赛）将集合分成六个不同的集合，即且，求证：在某个中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。34．（1999年国际数学竞赛）设n是一个固定的正偶数.考虑一块的正方板，它

7、被分成个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N的最小值.35．一个方格能否被15个方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？36．已知边长为的正方形及其内部的个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于